Analysis Beispiele

$(2 x + Y) d x + (2 Y + x) d y = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $(2 x + Y) d x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$(2 Y + x) d y = - (2 x + Y) d x$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{2 Y + x}$ .

$\frac{1}{2 Y + x} (2 Y + x) d y = \frac{1}{2 Y + x} (- (2 x + Y)) d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 Y + x$ .

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Schritt 3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2 Y + x} (2 Y + x) d y = \frac{1}{2 Y + x} (- (2 x + Y)) d x$

Schritt 3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$1 d y = \frac{1}{2 Y + x} (- (2 x + Y)) d x$

Schritt 3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$1 d y = - \frac{1}{2 Y + x} (2 x + Y) d x$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$1 d y = (- \frac{1}{2 Y + x} (2 x) - \frac{1}{2 Y + x} Y) d x$

Schritt 3.4

Multipliziere $- \frac{1}{2 Y + x} (2 x)$ .

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Schritt 3.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$1 d y = (- 2 \frac{1}{2 Y + x} x - \frac{1}{2 Y + x} Y) d x$

Schritt 3.4.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{2 Y + x}$ .

$1 d y = (\frac{- 2}{2 Y + x} x - \frac{1}{2 Y + x} Y) d x$

Schritt 3.4.3

Kombiniere $\frac{- 2}{2 Y + x}$ und $x$ .

$1 d y = (\frac{- 2 x}{2 Y + x} - \frac{1}{2 Y + x} Y) d x$

Schritt 3.5

Kombiniere $Y$ und $\frac{1}{2 Y + x}$ .

$1 d y = (\frac{- 2 x}{2 Y + x} - \frac{Y}{2 Y + x}) d x$

Schritt 3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$1 d y = \frac{- 2 x - Y}{2 Y + x} d x$

Schritt 3.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x$ heraus.

$1 d y = \frac{- (2 x) - Y}{2 Y + x} d x$

Schritt 3.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- Y$ heraus.

$1 d y = \frac{- (2 x) - (Y)}{2 Y + x} d x$

Schritt 3.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x) - (Y)$ heraus.

$1 d y = \frac{- (2 x + Y)}{2 Y + x} d x$

Schritt 3.10

Schreibe $- (2 x + Y)$ als $- 1 (2 x + Y)$ um.

$1 d y = \frac{- 1 (2 x + Y)}{2 Y + x} d x$

Schritt 3.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$1 d y = - \frac{2 x + Y}{2 Y + x} d x$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

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Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int - \frac{2 x + Y}{2 Y + x} d x$

Schritt 4.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int - \frac{2 x + Y}{2 Y + x} d x$

Schritt 4.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = - \int \frac{2 x + Y}{2 Y + x} d x$

Schritt 4.3.2

Sei $u = 2 Y + x$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.3.2.1

Es sei $u = 2 Y + x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.3.2.1.1

Differenziere $2 Y + x$ .

$\frac{d}{d x} [2 Y + x]$

Schritt 4.3.2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 Y + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 Y] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [2 Y] + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.3.2.1.3

Da $2 Y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 Y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.3.2.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + 1$

Schritt 4.3.2.1.5

Addiere $0$ und $1$ .

$1$

Schritt 4.3.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$y + C_{1} = - \int \frac{2 (u - 2 Y) + Y}{u} d u$

Schritt 4.3.3

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

$y + C_{1} = - \int \frac{2 (u - 2 Y)}{u} + \frac{Y}{u} d u$

Schritt 4.3.4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{1} = - (\int \frac{2 (u - 2 Y)}{u} d u + \int \frac{Y}{u} d u)$

Schritt 4.3.5

Da $2$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = - (2 \int \frac{u - 2 Y}{u} d u + \int \frac{Y}{u} d u)$

Schritt 4.3.6

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

$y + C_{1} = - (2 \int \frac{u}{u} + \frac{- 2 Y}{u} d u + \int \frac{Y}{u} d u)$

Schritt 4.3.7

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{1} = - (2 (\int \frac{u}{u} d u + \int \frac{- 2 Y}{u} d u) + \int \frac{Y}{u} d u)$

Schritt 4.3.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $u$ .

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Schritt 4.3.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + C_{1} = - (2 (\int \frac{u}{u} d u + \int \frac{- 2 Y}{u} d u) + \int \frac{Y}{u} d u)$

Schritt 4.3.8.2

Forme den Ausdruck um.

$y + C_{1} = - (2 (\int d u + \int \frac{- 2 Y}{u} d u) + \int \frac{Y}{u} d u)$

Schritt 4.3.9

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = - (2 (u + C_{2} + \int \frac{- 2 Y}{u} d u) + \int \frac{Y}{u} d u)$

Schritt 4.3.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y + C_{1} = - (2 (u + C_{2} + \int - \frac{2 Y}{u} d u) + \int \frac{Y}{u} d u)$

Schritt 4.3.11

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = - (2 (u + C_{2} - \int \frac{2 Y}{u} d u) + \int \frac{Y}{u} d u)$

Schritt 4.3.12

Da $2 Y$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $2 Y$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = - (2 (u + C_{2} - (2 Y \int \frac{1}{u} d u)) + \int \frac{Y}{u} d u)$

Schritt 4.3.13

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = - (2 (u + C_{2} - (2 Y (\ln (| u |) + C_{3}))) + \int \frac{Y}{u} d u)$

Schritt 4.3.14

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y + C_{1} = - (2 (u + C_{2} - 2 Y (\ln (| u |) + C_{3})) + \int \frac{Y}{u} d u)$

Schritt 4.3.15

Da $Y$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $Y$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = - (2 (u + C_{2} - 2 Y (\ln (| u |) + C_{3})) + Y \int \frac{1}{u} d u)$

Schritt 4.3.16

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = - (2 (u + C_{2} - 2 Y (\ln (| u |) + C_{3})) + Y (\ln (| u |) + C_{4}))$

Schritt 4.3.17

Vereinfache.

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Schritt 4.3.17.1

Vereinfache.

$y + C_{1} = - (2 u - 4 Y \ln (| u |) + Y \ln (| u |)) + C_{5}$

Schritt 4.3.17.2

Addiere $- 4 Y \ln (| u |)$ und $Y \ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = - (2 u - 3 Y \ln (| u |)) + C_{5}$

Schritt 4.3.18

Ersetze alle $u$ durch $2 Y + x$ .

$y + C_{1} = - (2 (2 Y + x) - 3 Y \ln (| 2 Y + x |)) + C_{5}$

Schritt 4.3.19

Vereinfache.

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Schritt 4.3.19.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.19.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y + C_{1} = - (2 (2 Y) + 2 x - 3 Y \ln (| 2 Y + x |)) + C_{5}$

Schritt 4.3.19.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y + C_{1} = - (4 Y + 2 x - 3 Y \ln (| 2 Y + x |)) + C_{5}$

Schritt 4.3.19.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y + C_{1} = - (4 Y) - (2 x) - (- 3 Y \ln (| 2 Y + x |)) + C_{5}$

Schritt 4.3.19.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.19.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$y + C_{1} = - 4 Y - (2 x) - (- 3 Y \ln (| 2 Y + x |)) + C_{5}$

Schritt 4.3.19.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y + C_{1} = - 4 Y - 2 x - (- 3 Y \ln (| 2 Y + x |)) + C_{5}$

Schritt 4.3.19.3.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$y + C_{1} = - 4 Y - 2 x + 3 (Y \ln (| 2 Y + x |)) + C_{5}$

$y + C_{1} = - 4 Y - 2 x + 3 Y \ln (| 2 Y + x |) + C_{5}$

Schritt 4.3.20

Stelle die Terme um.

$y + C_{1} = - 4 Y + 3 Y \ln (| 2 Y + x |) - 2 x + C_{5}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$y = - 4 Y + 3 Y \ln (| 2 Y + x |) - 2 x + C$