Analysis Beispiele

$(3 y x^{2}) d x + (- x^{3} - 2 y^{4}) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = 3 y x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 y x^{2}]$

Schritt 1.2

Da $3 x^{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $3 y x^{2}$ nach $y$ gleich $3 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} \cdot 1$

Schritt 1.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2}$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = - x^{3} - 2 y^{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- x^{3} - 2 y^{4}]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- x^{3} - 2 y^{4}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{4}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{4}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{4}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 y^{4}]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 y^{4}]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Da $- 2 y^{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 y^{4}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 3 x^{2} + 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $- 3 x^{2}$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 3 x^{2}$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Setze $3 x^{2}$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $- 3 x^{2}$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$3 x^{2} = - 3 x^{2}$

Schritt 3.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$3 x^{2} = - 3 x^{2}$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $- 3 x^{2}$ .

$\frac{- 3 x^{2} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Schritt 4.2

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $3 x^{2}$ .

$\frac{- 3 x^{2} - (3 x^{2})}{M}$

Schritt 4.3

Ersetze $M$ durch $3 y x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Ersetze $M$ durch $3 y x^{2}$ .

$\frac{- 3 x^{2} - (3 x^{2})}{3 y x^{2}}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 3 x^{2} - 1 \cdot 3 x^{2}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$\frac{x^{2} \cdot - 3 - 1 \cdot 3 x^{2}}{3 y x^{2}}$

Schritt 4.3.2.1.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 1 \cdot 3 x^{2}$ heraus.

$\frac{x^{2} \cdot - 3 + x^{2} (- 1 \cdot 3)}{3 y x^{2}}$

Schritt 4.3.2.1.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} \cdot - 3 + x^{2} (- 1 \cdot 3)$ heraus.

$\frac{x^{2} (- 3 - 1 \cdot 3)}{3 y x^{2}}$

Schritt 4.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{x^{2} (- 3 - 3)}{3 y x^{2}}$

Schritt 4.3.2.3

Subtrahiere $3$ von $- 3$ .

$\frac{x^{2} \cdot - 6}{3 y x^{2}}$

Schritt 4.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} \cdot - 6}{3 y x^{2}}$

Schritt 4.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 6}{3 y}$

Schritt 4.3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.4.1

Faktorisiere $3$ aus $- 6$ heraus.

$\frac{3 \cdot - 2}{3 y}$

Schritt 4.3.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.4.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 y$ heraus.

$\frac{3 \cdot - 2}{3 (y)}$

Schritt 4.3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot - 2}{3 y}$

Schritt 4.3.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 2}{y}$

Schritt 4.3.5

Ersetze $M$ durch $3 y x^{2}$ .

$- \frac{2}{y}$

Schritt 4.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

Schritt 5

Berechne das Integral $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

Schritt 5.2

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

Schritt 5.4

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

Schritt 5.5

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

Schritt 5.6

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.1

Vereinfache $- 2 \ln (| y |)$ , indem du $- 2$ in den Logarithmus ziehst.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

Schritt 5.6.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

Schritt 5.6.3

Entferne den Absolutwert in ${| y |}^{- 2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

Schritt 5.6.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

Schritt 6

Multipliziere beide Seiten von $3 y x^{2} d x + (- x^{3} - 2 y^{4}) d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $\frac{1}{y^{2}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Mutltipliziere $3 y x^{2}$ mit $\frac{1}{y^{2}}$ .

$3 y x^{2} \frac{1}{y^{2}} d x + (- x^{3} - 2 y^{4}) d y = 0$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Faktorisiere $y$ aus $3 y x^{2}$ heraus.

$y (3 x^{2}) \frac{1}{y^{2}} d x + (- x^{3} - 2 y^{4}) d y = 0$

Schritt 6.2.2

Faktorisiere $y$ aus $y^{2}$ heraus.

$y (3 x^{2}) \frac{1}{y \cdot y} d x + (- x^{3} - 2 y^{4}) d y = 0$

Schritt 6.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y (3 x^{2}) \frac{1}{y \cdot y} d x + (- x^{3} - 2 y^{4}) d y = 0$

Schritt 6.2.4

Forme den Ausdruck um.

$3 x^{2} \frac{1}{y} d x + (- x^{3} - 2 y^{4}) d y = 0$

Schritt 6.3

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{y}$ .

$x^{2} \frac{3}{y} d x + (- x^{3} - 2 y^{4}) d y = 0$

Schritt 6.4

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{3}{y}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 3}{y} d x + (- x^{3} - 2 y^{4}) d y = 0$

Schritt 6.5

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{y} d x + (- x^{3} - 2 y^{4}) d y = 0$

Schritt 6.6

Mutltipliziere $- x^{3} - 2 y^{4}$ mit $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{3 x^{2}}{y} d x + (- x^{3} - 2 y^{4}) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Schritt 6.7

Mutltipliziere $- x^{3} - 2 y^{4}$ mit $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{3 x^{2}}{y} d x + \frac{- x^{3} - 2 y^{4}}{y^{2}} d y = 0$

Schritt 6.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{3}$ heraus.

$\frac{3 x^{2}}{y} d x + \frac{- (x^{3}) - 2 y^{4}}{y^{2}} d y = 0$

Schritt 6.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 y^{4}$ heraus.

$\frac{3 x^{2}}{y} d x + \frac{- (x^{3}) - (2 y^{4})}{y^{2}} d y = 0$

Schritt 6.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{3}) - (2 y^{4})$ heraus.

$\frac{3 x^{2}}{y} d x + \frac{- (x^{3} + 2 y^{4})}{y^{2}} d y = 0$

Schritt 6.11

Schreibe $- (x^{3} + 2 y^{4})$ als $- 1 (x^{3} + 2 y^{4})$ um.

$\frac{3 x^{2}}{y} d x + \frac{- 1 (x^{3} + 2 y^{4})}{y^{2}} d y = 0$

Schritt 6.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{3 x^{2}}{y} d x - \frac{x^{3} + 2 y^{4}}{y^{2}} d y = 0$

Schritt 7

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{3 x^{2}}{y} d x$

Schritt 8

Integriere $M (x, y) = \frac{3 x^{2}}{y}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Da $\frac{3}{y}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{3}{y}$ aus dem Integral.

$f (x, y) = \frac{3}{y} \int x^{2} d x$

Schritt 8.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{3}{y} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Schritt 8.3

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1

Schreibe $\frac{3}{y} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ als $\frac{3}{y} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C$ um.

$f (x, y) = \frac{3}{y} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C$

Schritt 8.3.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{3}{y}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{3}{y \cdot 3} x^{3} + C$

Schritt 8.3.2.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $y$ .

$f (x, y) = \frac{3}{3 \cdot y} x^{3} + C$

Schritt 8.3.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $y$ .

$f (x, y) = \frac{3}{3 y} x^{3} + C$

Schritt 8.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x, y) = \frac{3}{3 y} x^{3} + C$

Schritt 8.3.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (x, y) = \frac{1}{y} x^{3} + C$

Schritt 8.3.2.5

Kombiniere $\frac{1}{y}$ und $x^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{3}}{y} + C$

Schritt 9

Da das Integral von $g (y)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (y)$ ersetzen.

$f (x, y) = \frac{x^{3}}{y} + g (y)$

Schritt 10

Setze $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{x^{3} + 2 y^{4}}{y^{2}}$

Schritt 11

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1

Differenziere $f$ nach $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x^{3}}{y} + g (y)] = - \frac{x^{3} + 2 y^{4}}{y^{2}}$

Schritt 11.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{x^{3}}{y} + g (y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [\frac{x^{3}}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x^{3}}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{3} + 2 y^{4}}{y^{2}}$

Schritt 11.3

Berechne $\frac{d}{d y} [\frac{x^{3}}{y}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.3.1

Da $x^{3}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x^{3}}{y}$ nach $y$ gleich $x^{3} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ .

$x^{3} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{3} + 2 y^{4}}{y^{2}}$

Schritt 11.3.2

Schreibe $\frac{1}{y}$ als $y^{- 1}$ um.

$x^{3} \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{3} + 2 y^{4}}{y^{2}}$

Schritt 11.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$x^{3} (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{3} + 2 y^{4}}{y^{2}}$

Schritt 11.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (y)$ $\frac{d g}{d y}$ ist.

$x^{3} (- y^{- 2}) + \frac{d g}{d y} = - \frac{x^{3} + 2 y^{4}}{y^{2}}$

Schritt 11.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{3} (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = - \frac{x^{3} + 2 y^{4}}{y^{2}}$

Schritt 11.5.2

Kombiniere $x^{3}$ und $\frac{1}{y^{2}}$ .

$- \frac{x^{3}}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{x^{3} + 2 y^{4}}{y^{2}}$

Schritt 11.5.3

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x^{3}}{y^{2}} = - \frac{x^{3} + 2 y^{4}}{y^{2}}$

Schritt 12

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1.1

Bringe alle Terme, die Variablen enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1.1.1

Addiere $\frac{x^{3} + 2 y^{4}}{y^{2}}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x^{3}}{y^{2}} + \frac{x^{3} + 2 y^{4}}{y^{2}} = 0$

Schritt 12.1.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{3} + x^{3} + 2 y^{4}}{y^{2}} = 0$

Schritt 12.1.1.3

Addiere $- x^{3}$ und $x^{3}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 + 2 y^{4}}{y^{2}} = 0$

Schritt 12.1.1.4

Addiere $0$ und $2 y^{4}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{2 y^{4}}{y^{2}} = 0$

Schritt 12.1.1.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{4}$ und $y^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1.1.5.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $2 y^{4}$ heraus.

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} (2 y^{2})}{y^{2}} = 0$

Schritt 12.1.1.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1.1.5.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} (2 y^{2})}{y^{2} \cdot 1} = 0$

Schritt 12.1.1.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} (2 y^{2})}{y^{2} \cdot 1} = 0$

Schritt 12.1.1.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d g}{d y} + \frac{2 y^{2}}{1} = 0$

Schritt 12.1.1.5.2.4

Dividiere $2 y^{2}$ durch $1$ .

$\frac{d g}{d y} + 2 y^{2} = 0$

Schritt 12.1.2

Subtrahiere $2 y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} = - 2 y^{2}$

Schritt 13

Bestimme die Stammfunktion von $- 2 y^{2}$ , um $g (y)$ zu finden.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d y} = - 2 y^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 2 y^{2} d y$

Schritt 13.2

Berechne $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - 2 y^{2} d y$

Schritt 13.3

Da $- 2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$g (y) = - 2 \int y^{2} d y$

Schritt 13.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{2}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$g (y) = - 2 (\frac{1}{3} y^{3} + C)$

Schritt 13.5

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.5.1

Schreibe $- 2 (\frac{1}{3} y^{3} + C)$ als $- 2 (\frac{1}{3}) y^{3} + C$ um.

$g (y) = - 2 (\frac{1}{3}) y^{3} + C$

Schritt 13.5.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.5.2.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{3}$ .

$g (y) = \frac{- 2}{3} y^{3} + C$

Schritt 13.5.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$g (y) = - \frac{2}{3} y^{3} + C$

Schritt 14

Setze $g (y)$ in $f (x, y) = \frac{x^{3}}{y} + g (y)$ ein.

$f (x, y) = \frac{x^{3}}{y} - \frac{2}{3} y^{3} + C$

Schritt 15

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.1

Kombiniere $y^{3}$ und $\frac{2}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{3}}{y} - \frac{y^{3} \cdot 2}{3} + C$

Schritt 15.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{3}}{y} - \frac{2 y^{3}}{3} + C$