Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = 2 x^{2} y - 8 x y$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $2 x y$ aus $2 x^{2} y - 8 x y$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $2 x y$ aus $2 x^{2} y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = 2 x y (x) - 8 x y$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $2 x y$ aus $- 8 x y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = 2 x y (x) + 2 x y (- 4)$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $2 x y$ aus $2 x y (x) + 2 x y (- 4)$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = 2 x y (x - 4)$

Schritt 1.2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (2 x y (x - 4))$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{y} (x y (x - 4))$

Schritt 1.3.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (x y (x - 4))$

Schritt 1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.3.3.1

Faktorisiere $y$ aus $x y (x - 4)$ heraus.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (y (x (x - 4)))$

Schritt 1.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (y (x (x - 4)))$

Schritt 1.3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 2 (x (x - 4))$

Schritt 1.3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 2 (x \cdot x + x \cdot - 4)$

Schritt 1.3.5

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 2 (x^{2} + x \cdot - 4)$

Schritt 1.3.6

Bringe $- 4$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 2 (x^{2} - 4 \cdot x)$

Schritt 1.3.7

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 2 x^{2} + 2 (- 4 x)$

Schritt 1.3.8

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 2 x^{2} - 8 x$

Schritt 1.4

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y} d y = (2 x^{2} - 8 x) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 2 x^{2} - 8 x d x$

Schritt 2.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 2 x^{2} - 8 x d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 2 x^{2} d x + \int - 8 x d x$

Schritt 2.3.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int x^{2} d x + \int - 8 x d x$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int - 8 x d x$

Schritt 2.3.4

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 8$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - 8 \int x d x$

Schritt 2.3.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - 8 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Schritt 2.3.6

Vereinfache.

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Schritt 2.3.6.1

Vereinfache.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{3}) x^{3} - 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.6.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{3} x^{3} - 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.2

Kombiniere $- 8$ und $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{3} x^{3} + \frac{- 8}{2} x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 8$ und $2$ .

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Schritt 2.3.6.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 8$ heraus.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{3} x^{3} + \frac{2 \cdot - 4}{2} x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.6.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{3} x^{3} + \frac{2 \cdot - 4}{2 (1)} x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{3} x^{3} + \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{3} x^{3} + \frac{- 4}{1} x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.3.2.4

Dividiere $- 4$ durch $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{3} x^{3} - 4 x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.7

Stelle die Terme um.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 4 x^{2} + \frac{2}{3} x^{3} + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y |) = - 4 x^{2} + \frac{2}{3} x^{3} + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- 4 x^{2} + \frac{2}{3} x^{3} + C}$

Schritt 3.2

Schreibe $\ln (| y |) = - 4 x^{2} + \frac{2}{3} x^{3} + C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{- 4 x^{2} + \frac{2}{3} x^{3} + C} = | y |$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Schreibe die Gleichung als $| y | = e^{- 4 x^{2} + \frac{2}{3} x^{3} + C}$ um.

$| y | = e^{- 4 x^{2} + \frac{2}{3} x^{3} + C}$

Schritt 3.3.2

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x^{3}$ .

$| y | = e^{- 4 x^{2} + \frac{2 x^{3}}{3} + C}$

Schritt 3.3.3

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- 4 x^{2} + \frac{2 x^{3}}{3} + C}$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 4.1

Schreibe $e^{- 4 x^{2} + \frac{2 x^{3}}{3} + C}$ als $e^{- 4 x^{2} + \frac{2 x^{3}}{3}} e^{C}$ um.

$y = \pm e^{- 4 x^{2} + \frac{2 x^{3}}{3}} e^{C}$

Schritt 4.2

Stelle $e^{- 4 x^{2} + \frac{2 x^{3}}{3}}$ und $e^{C}$ um.

$y = \pm e^{C} e^{- 4 x^{2} + \frac{2 x^{3}}{3}}$

Schritt 4.3

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = C e^{- 4 x^{2} + \frac{2 x^{3}}{3}}$