Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = 7 x^{6} - 4 x^{3} + 12$ , $y (1) = 24$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = (7 x^{6} - 4 x^{3} + 12) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int 7 x^{6} - 4 x^{3} + 12 d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int 7 x^{6} - 4 x^{3} + 12 d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{1} = \int 7 x^{6} d x + \int - 4 x^{3} d x + \int 12 d x$

Schritt 2.3.2

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $7$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 7 \int x^{6} d x + \int - 4 x^{3} d x + \int 12 d x$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{6}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{7} x^{7}$ .

$y + C_{1} = 7 (\frac{1}{7} x^{7} + C_{2}) + \int - 4 x^{3} d x + \int 12 d x$

Schritt 2.3.4

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 4$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 7 (\frac{1}{7} x^{7} + C_{2}) - 4 \int x^{3} d x + \int 12 d x$

Schritt 2.3.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$y + C_{1} = 7 (\frac{1}{7} x^{7} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) + \int 12 d x$

Schritt 2.3.6

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = 7 (\frac{1}{7} x^{7} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) + 12 x + C_{4}$

Schritt 2.3.7

Vereinfache.

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Schritt 2.3.7.1

Vereinfache.

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Schritt 2.3.7.1.1

Kombiniere $\frac{1}{7}$ und $x^{7}$ .

$y + C_{1} = 7 (\frac{x^{7}}{7} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) + 12 x + C_{4}$

Schritt 2.3.7.1.2

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{4}$ .

$y + C_{1} = 7 (\frac{x^{7}}{7} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) + 12 x + C_{4}$

Schritt 2.3.7.2

Vereinfache.

$y + C_{1} = x^{7} - x^{4} + 12 x + C_{5}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = x^{7} - x^{4} + 12 x + K$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $1$ für $x$ und $24$ für $y$ in $y = x^{7} - x^{4} + 12 x + K$ ersetzt wird.

$24 = 1^{7} - 1^{4} + 12 \cdot 1 + K$

Schritt 4

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $1^{7} - 1^{4} + 12 \cdot 1 + K = 24$ um.

$1^{7} - 1^{4} + 12 \cdot 1 + K = 24$

Schritt 4.2

Vereinfache $1^{7} - 1^{4} + 12 \cdot 1 + K$ .

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 - 1^{4} + 12 \cdot 1 + K = 24$

Schritt 4.2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 - 1 \cdot 1 + 12 \cdot 1 + K = 24$

Schritt 4.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$1 - 1 + 12 \cdot 1 + K = 24$

Schritt 4.2.1.4

Mutltipliziere $12$ mit $1$ .

$1 - 1 + 12 + K = 24$

Schritt 4.2.2

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 4.2.2.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$0 + 12 + K = 24$

Schritt 4.2.2.2

Addiere $0$ und $12$ .

$12 + K = 24$

Schritt 4.3

Bringe alle Terme, die nicht $K$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Subtrahiere $12$ von beiden Seiten der Gleichung.

$K = 24 - 12$

Schritt 4.3.2

Subtrahiere $12$ von $24$ .

$K = 12$

Schritt 5

Setze $12$ für $K$ in $y = x^{7} - x^{4} + 12 x + K$ ein und vereinfache.

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Schritt 5.1

Ersetze $K$ durch $12$ .

$y = x^{7} - x^{4} + 12 x + 12$