Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} - 4 = 8 x^{3} - 3 x^{2}$ , $y (1) = 5$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d y}{d x} = 8 x^{3} - 3 x^{2} + 4$

Schritt 1.2

Schreibe die Gleichung um.

$d y = (8 x^{3} - 3 x^{2} + 4) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int 8 x^{3} - 3 x^{2} + 4 d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int 8 x^{3} - 3 x^{2} + 4 d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{1} = \int 8 x^{3} d x + \int - 3 x^{2} d x + \int 4 d x$

Schritt 2.3.2

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $8$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 8 \int x^{3} d x + \int - 3 x^{2} d x + \int 4 d x$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$y + C_{1} = 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) + \int - 3 x^{2} d x + \int 4 d x$

Schritt 2.3.4

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 3$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 3 \int x^{2} d x + \int 4 d x$

Schritt 2.3.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + \int 4 d x$

Schritt 2.3.6

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + 4 x + C_{4}$

Schritt 2.3.7

Vereinfache.

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Schritt 2.3.7.1

Vereinfache.

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Schritt 2.3.7.1.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{4}$ .

$y + C_{1} = 8 (\frac{x^{4}}{4} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + 4 x + C_{4}$

Schritt 2.3.7.1.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$y + C_{1} = 8 (\frac{x^{4}}{4} + C_{2}) - 3 (\frac{x^{3}}{3} + C_{3}) + 4 x + C_{4}$

Schritt 2.3.7.2

Vereinfache.

$y + C_{1} = 2 x^{4} - x^{3} + 4 x + C_{5}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = 2 x^{4} - x^{3} + 4 x + K$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $1$ für $x$ und $5$ für $y$ in $y = 2 x^{4} - x^{3} + 4 x + K$ ersetzt wird.

$5 = 2 \cdot 1^{4} - 1^{3} + 4 \cdot 1 + K$

Schritt 4

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $2 \cdot 1^{4} - 1^{3} + 4 \cdot 1 + K = 5$ um.

$2 \cdot 1^{4} - 1^{3} + 4 \cdot 1 + K = 5$

Schritt 4.2

Vereinfache $2 \cdot 1^{4} - 1^{3} + 4 \cdot 1 + K$ .

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$2 \cdot 1 - 1^{3} + 4 \cdot 1 + K = 5$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 - 1^{3} + 4 \cdot 1 + K = 5$

Schritt 4.2.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$2 - 1 \cdot 1 + 4 \cdot 1 + K = 5$

Schritt 4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$2 - 1 + 4 \cdot 1 + K = 5$

Schritt 4.2.1.5

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$2 - 1 + 4 + K = 5$

Schritt 4.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 4.2.2.1

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$1 + 4 + K = 5$

Schritt 4.2.2.2

Addiere $1$ und $4$ .

$5 + K = 5$

Schritt 4.3

Bringe alle Terme, die nicht $K$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$K = 5 - 5$

Schritt 4.3.2

Subtrahiere $5$ von $5$ .

$K = 0$

Schritt 5

Setze $0$ für $K$ in $y = 2 x^{4} - x^{3} + 4 x + K$ ein und vereinfache.

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Schritt 5.1

Ersetze $K$ durch $0$ .

$y = 2 x^{4} - x^{3} + 4 x + 0$

Schritt 5.2

Addiere $2 x^{4} - x^{3} + 4 x$ und $0$ .

$y = 2 x^{4} - x^{3} + 4 x$