Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = 2 \cdot \frac{1}{x + 7} \cdot y$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (2 \cdot \frac{1}{x + 7} \cdot y)$

Schritt 1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{y} (\frac{1}{x + 7} y)$

Schritt 1.2.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (\frac{1}{x + 7} y)$

Schritt 1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.2.3.1

Faktorisiere $y$ aus $\frac{1}{x + 7} y$ heraus.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (y \frac{1}{x + 7})$

Schritt 1.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (y \frac{1}{x + 7})$

Schritt 1.2.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{x + 7}$

Schritt 1.2.4

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{x + 7}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{x + 7}$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y} d y = \frac{2}{x + 7} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{2}{x + 7} d x$

Schritt 2.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{2}{x + 7} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{x + 7} d x$

Schritt 2.3.2

Sei $u = x + 7$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.2.1

Es sei $u = x + 7$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Differenziere $x + 7$ .

$\frac{d}{d x} [x + 7]$

Schritt 2.3.2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 2.3.2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 2.3.2.1.4

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 2.3.2.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 2.3.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 2.3.3

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\ln (| u |) + C_{2})$

Schritt 2.3.4

Vereinfache.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \ln (| u |) + C_{2}$

Schritt 2.3.5

Ersetze alle $u$ durch $x + 7$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \ln (| x + 7 |) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y |) = 2 \ln (| x + 7 |) + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| y |) - 2 \ln (| x + 7 |) = C$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache $\ln (| y |) - 2 \ln (| x + 7 |)$ .

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1.1

Vereinfache $- 2 \ln (| x + 7 |)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln (| y |) - \ln ({| x + 7 |}^{2}) = C$

Schritt 3.2.1.1.2

Entferne den Absolutwert in ${| x + 7 |}^{2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$\ln (| y |) - \ln ({(x + 7)}^{2}) = C$

Schritt 3.2.1.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{{(x + 7)}^{2}}) = C$

Schritt 3.3

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (\frac{| y |}{{(x + 7)}^{2}})} = e^{C}$

Schritt 3.4

Schreibe $\ln (\frac{| y |}{{(x + 7)}^{2}}) = C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{{(x + 7)}^{2}}$

Schritt 3.5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.5.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{| y |}{{(x + 7)}^{2}} = e^{C}$ um.

$\frac{| y |}{{(x + 7)}^{2}} = e^{C}$

Schritt 3.5.2

Multipliziere beide Seiten mit ${(x + 7)}^{2}$ .

$\frac{| y |}{{(x + 7)}^{2}} {(x + 7)}^{2} = e^{C} {(x + 7)}^{2}$

Schritt 3.5.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(x + 7)}^{2}$ .

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Schritt 3.5.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{| y |}{{(x + 7)}^{2}} {(x + 7)}^{2} = e^{C} {(x + 7)}^{2}$

Schritt 3.5.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$| y | = e^{C} {(x + 7)}^{2}$

Schritt 3.5.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.5.4.1

Vereinfache $e^{C} {(x + 7)}^{2}$ .

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Schritt 3.5.4.1.1

Schreibe ${(x + 7)}^{2}$ als $(x + 7) (x + 7)$ um.

$| y | = e^{C} ((x + 7) (x + 7))$

Schritt 3.5.4.1.2

Multipliziere $(x + 7) (x + 7)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.5.4.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$| y | = e^{C} (x (x + 7) + 7 (x + 7))$

Schritt 3.5.4.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$| y | = e^{C} (x \cdot x + x \cdot 7 + 7 (x + 7))$

Schritt 3.5.4.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$| y | = e^{C} (x \cdot x + x \cdot 7 + 7 x + 7 \cdot 7)$

Schritt 3.5.4.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.5.4.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.4.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$| y | = e^{C} (x^{2} + x \cdot 7 + 7 x + 7 \cdot 7)$

Schritt 3.5.4.1.3.1.2

Bringe $7$ auf die linke Seite von $x$ .

$| y | = e^{C} (x^{2} + 7 \cdot x + 7 x + 7 \cdot 7)$

Schritt 3.5.4.1.3.1.3

Mutltipliziere $7$ mit $7$ .

$| y | = e^{C} (x^{2} + 7 x + 7 x + 49)$

Schritt 3.5.4.1.3.2

Addiere $7 x$ und $7 x$ .

$| y | = e^{C} (x^{2} + 14 x + 49)$

Schritt 3.5.4.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$| y | = e^{C} x^{2} + e^{C} (14 x) + e^{C} \cdot 49$

Schritt 3.5.4.1.5

Vereinfache.

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Schritt 3.5.4.1.5.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$| y | = e^{C} x^{2} + 14 e^{C} x + e^{C} \cdot 49$

Schritt 3.5.4.1.5.2

Bringe $49$ auf die linke Seite von $e^{C}$ .

$| y | = e^{C} x^{2} + 14 e^{C} x + 49 \cdot e^{C}$

Schritt 3.5.4.1.6

Stelle die Faktoren in $e^{C} x^{2} + 14 e^{C} x + 49 e^{C}$ um.

$| y | = x^{2} e^{C} + 14 x e^{C} + 49 e^{C}$

Schritt 3.5.4.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y = \pm (x^{2} e^{C} + 14 x e^{C} + 49 e^{C})$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \pm (x^{2} C + 14 x C + C)$