Analysis Beispiele

$\frac{d A}{d t} = 0.07 A$ , $A (0) = 100$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{A}$ .

$\frac{1}{A} \frac{d A}{d t} = \frac{1}{A} (0.07 A)$

Schritt 1.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{A} \frac{d A}{d t} = 0.07 \frac{1}{A} A$

Schritt 1.2.2

Kombiniere $0.07$ und $\frac{1}{A}$ .

$\frac{1}{A} \frac{d A}{d t} = \frac{0.07}{A} A$

Schritt 1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $A$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{A} \frac{d A}{d t} = \frac{0.07}{A} A$

Schritt 1.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{A} \frac{d A}{d t} = 0.07$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{A} d A = 0.07 d t$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{A} d A = \int 0.07 d t$

Schritt 2.2

Das Integral von $\frac{1}{A}$ nach $A$ ist $\ln (| A |)$ .

$\ln (| A |) + C_{1} = \int 0.07 d t$

Schritt 2.3

Wende die Konstantenregel an.

$\ln (| A |) + C_{1} = 0.07 t + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| A |) = 0.07 t + C$

Schritt 3

Löse nach $A$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Um nach $A$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| A |)} = e^{0.07 t + C}$

Schritt 3.2

Schreibe $\ln (| A |) = 0.07 t + C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{0.07 t + C} = | A |$

Schritt 3.3

Löse nach $A$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Schreibe die Gleichung als $| A | = e^{0.07 t + C}$ um.

$| A | = e^{0.07 t + C}$

Schritt 3.3.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$A = \pm e^{0.07 t + C}$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Schreibe $e^{0.07 t + C}$ als $e^{0.07 t} e^{C}$ um.

$A = \pm e^{0.07 t} e^{C}$

Schritt 4.2

Stelle $e^{0.07 t}$ und $e^{C}$ um.

$A = \pm e^{C} e^{0.07 t}$

Schritt 4.3

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$A = C e^{0.07 t}$

Schritt 5

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $C$ zu finden indem $0$ für $t$ und $100$ für $A$ in $A = C e^{0.07 t}$ ersetzt wird.

$100 = C e^{0.07 \cdot 0}$

Schritt 6

Löse nach $C$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als $C e^{0.07 \cdot 0} = 100$ um.

$C e^{0.07 \cdot 0} = 100$

Schritt 6.2

Vereinfache $C e^{0.07 \cdot 0}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $0.07$ mit $0$ .

$C e^{0} = 100$

Schritt 6.2.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$C \cdot 1 = 100$

Schritt 6.2.3

Mutltipliziere $C$ mit $1$ .

$C = 100$

Schritt 7

Setze $100$ für $C$ in $A = C e^{0.07 t}$ ein und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Ersetze $C$ durch $100$ .

$A = 100 e^{0.07 t}$