Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 x + 1}{x} y = e^{- 2 x}$

Schritt 1

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = \frac{2 x + 1}{x}$ gilt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int \frac{2 x + 1}{x} d x}$

Schritt 1.2

Integriere $\frac{2 x + 1}{x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

$e^{\int \frac{2 x}{x} + \frac{1}{x} d x}$

Schritt 1.2.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$e^{\int \frac{2 x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{\int \frac{2 x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 1.2.3.2

Dividiere $2$ durch $1$ .

$e^{\int 2 d x + \int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 1.2.4

Wende die Konstantenregel an.

$e^{2 x + C + \int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 1.2.5

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$e^{2 x + C + \ln (| x |) + C}$

Schritt 1.2.6

Vereinfache.

$e^{2 x + \ln (| x |) + C}$

Schritt 1.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{2 x + \ln (x)}$

Schritt 2

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{2 x + \ln (x)}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{2 x + \ln (x)}$ .

$e^{2 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} + e^{2 x + \ln (x)} (\frac{2 x + 1}{x} y) = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

Schritt 2.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Kombiniere $\frac{2 x + 1}{x}$ und $y$ .

$e^{2 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} + e^{2 x + \ln (x)} \frac{(2 x + 1) y}{x} = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

Schritt 2.2.2

Kombiniere $e^{2 x + \ln (x)}$ und $\frac{(2 x + 1) y}{x}$ .

$e^{2 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{2 x + \ln (x)} (2 x + 1) y}{x} = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

Schritt 2.3

Um $e^{2 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} x}{x} + \frac{e^{2 x + \ln (x)} (2 x + 1) y}{x} = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

Schritt 2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} x + e^{2 x + \ln (x)} (2 x + 1) y}{x} = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

Schritt 2.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1

Faktorisiere $e^{2 x + \ln (x)}$ aus $e^{2 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} x + e^{2 x + \ln (x)} (2 x + 1) y$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1.1

Faktorisiere $e^{2 x + \ln (x)}$ aus $e^{2 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} x$ heraus.

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x) + e^{2 x + \ln (x)} (2 x + 1) y}{x} = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

Schritt 2.5.1.2

Faktorisiere $e^{2 x + \ln (x)}$ aus $e^{2 x + \ln (x)} (2 x + 1) y$ heraus.

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x) + e^{2 x + \ln (x)} ((2 x + 1) y)}{x} = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

Schritt 2.5.1.3

Faktorisiere $e^{2 x + \ln (x)}$ aus $e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x) + e^{2 x + \ln (x)} ((2 x + 1) y)$ heraus.

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + (2 x + 1) y)}{x} = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

Schritt 2.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 2 x y + 1 y)}{x} = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

Schritt 2.5.3

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 2 x y + y)}{x} = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

Schritt 2.6

Multipliziere $e^{2 x + \ln (x)}$ mit $e^{- 2 x}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 2 x y + y)}{x} = e^{2 x + \ln (x) - 2 x}$

Schritt 2.6.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x + \ln (x) - 2 x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.2.1

Subtrahiere $2 x$ von $2 x$ .

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 2 x y + y)}{x} = e^{0 + \ln (x)}$

Schritt 2.6.2.2

Addiere $0$ und $\ln (x)$ .

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 2 x y + y)}{x} = e^{\ln (x)}$

Schritt 2.7

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 2 x y + y)}{x} = x$

Schritt 2.8

Stelle die Faktoren in $\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 2 x y + y)}{x} = x$ um.

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y)}{x} = x$

Schritt 3

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x + \ln (x)} y] = x$

Schritt 4

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x + \ln (x)} y] d x = \int x d x$

Schritt 5

Integriere die linke Seite.

$e^{2 x + \ln (x)} y = \int x d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{2 x + \ln (x)} y = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $e^{2 x + \ln (x)} y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ durch $e^{2 x + \ln (x)}$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{2 x + \ln (x)} y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ durch $e^{2 x + \ln (x)}$ .

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} y}{e^{2 x + \ln (x)}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{e^{2 x + \ln (x)}} + \frac{C}{e^{2 x + \ln (x)}}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{2 x + \ln (x)}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} y}{e^{2 x + \ln (x)}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{e^{2 x + \ln (x)}} + \frac{C}{e^{2 x + \ln (x)}}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{e^{2 x + \ln (x)}} + \frac{C}{e^{2 x + \ln (x)}}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$y = \frac{\frac{x^{2}}{2}}{e^{2 x + \ln (x)}} + \frac{C}{e^{2 x + \ln (x)}}$

Schritt 7.3.1.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y = \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{e^{2 x + \ln (x)}} + \frac{C}{e^{2 x + \ln (x)}}$

Schritt 7.3.1.3

Kombinieren.

$y = \frac{x^{2} \cdot 1}{2 e^{2 x + \ln (x)}} + \frac{C}{e^{2 x + \ln (x)}}$

Schritt 7.3.1.4

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{2 e^{2 x + \ln (x)}} + \frac{C}{e^{2 x + \ln (x)}}$