Analysis Beispiele

$\frac{d v}{d t} = \frac{8}{1 + t^{2}} + \sec^{2} (t)$ , $v (0) = 2$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d v = (\frac{8}{1 + t^{2}} + \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d v = \int \frac{8}{1 + t^{2}} + \sec^{2} (t) d t$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$v + C_{1} = \int \frac{8}{1 + t^{2}} + \sec^{2} (t) d t$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$v + C_{1} = \int \frac{8}{1 + t^{2}} d t + \int \sec^{2} (t) d t$

Schritt 2.3.2

Da $8$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $8$ aus dem Integral.

$v + C_{1} = 8 \int \frac{1}{1 + t^{2}} d t + \int \sec^{2} (t) d t$

Schritt 2.3.3

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$v + C_{1} = 8 \int \frac{1}{1^{2} + t^{2}} d t + \int \sec^{2} (t) d t$

Schritt 2.3.4

Das Integral von $\frac{1}{1^{2} + t^{2}}$ nach $t$ ist $\arctan (t) + C_{2}$ .

$v + C_{1} = 8 (\arctan (t) + C_{2}) + \int \sec^{2} (t) d t$

Schritt 2.3.5

Da die Ableitung von $\tan (t)$ gleich $\sec^{2} (t)$ ist, ist das Integral von $\sec^{2} (t)$ gleich $\tan (t)$ .

$v + C_{1} = 8 (\arctan (t) + C_{2}) + \tan (t) + C_{3}$

Schritt 2.3.6

Vereinfache.

$v + C_{1} = 8 \arctan (t) + \tan (t) + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$v = 8 \arctan (t) + \tan (t) + K$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $0$ für $t$ und $2$ für $v$ in $v = 8 \arctan (t) + \tan (t) + K$ ersetzt wird.

$2 = 8 \arctan (0) + \tan (0) + K$

Schritt 4

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $8 \arctan (0) + \tan (0) + K = 2$ um.

$8 \arctan (0) + \tan (0) + K = 2$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $8 \arctan (0) + \tan (0) + K$ .

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Schritt 4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1.1

Der genau Wert von $\arctan (0)$ ist $0$ .

$8 \cdot 0 + \tan (0) + K = 2$

Schritt 4.2.1.1.2

Mutltipliziere $8$ mit $0$ .

$0 + \tan (0) + K = 2$

Schritt 4.2.1.1.3

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$0 + 0 + K = 2$

Schritt 4.2.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $0 + 0 + K$ .

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Schritt 4.2.1.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$0 + K = 2$

Schritt 4.2.1.2.2

Addiere $0$ und $K$ .

$K = 2$

Schritt 5

Setze $2$ für $K$ in $v = 8 \arctan (t) + \tan (t) + K$ ein und vereinfache.

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Schritt 5.1

Ersetze $K$ durch $2$ .

$v = 8 \arctan (t) + \tan (t) + 2$