Analysis Beispiele

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x y$ , $y (0) = 1$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x y$ durch $x^{2} + 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.1

Teile jeden Ausdruck in $(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x y$ durch $x^{2} + 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x}}{x^{2} + 1} = \frac{x y}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} + 1$ .

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Schritt 1.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x}}{x^{2} + 1} = \frac{x y}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.1.2.1.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.2

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 1} y$

Schritt 1.3

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (\frac{x}{x^{2} + 1} y)$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.4.1

Faktorisiere $y$ aus $\frac{x}{x^{2} + 1} y$ heraus.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{x}{x^{2} + 1})$

Schritt 1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{x}{x^{2} + 1})$

Schritt 1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.5

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y} d y = \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 2.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Sei $u = x^{2} + 1$ . Dann ist $d u = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.1.1

Es sei $u = x^{2} + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Differenziere $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 2.3.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.3.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.3.1.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x + 0$

Schritt 2.3.1.1.5

Addiere $2 x$ und $0$ .

$2 x$

Schritt 2.3.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 2.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Schritt 2.3.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{2 u} d u$

Schritt 2.3.3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 2.3.4

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2})$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{2}$

Schritt 2.3.6

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y |) = \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\ln (| x^{2} + 1 |)$ .

$\ln (| y |) = \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C$

Schritt 3.2

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Schritt 3.3

Um $\ln (| y |)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| y |) \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Schritt 3.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.4.1

Kombiniere $\ln (| y |)$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (| y |) \cdot 2}{2} - \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Schritt 3.4.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\ln (| y |) \cdot 2 - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Schritt 3.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\ln (| y |)$ .

$\frac{2 \ln (| y |) - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Schritt 3.6

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.6.1

Vereinfache $\frac{2 \ln (| y |) - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2}$ .

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Schritt 3.6.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.1.1.1

Vereinfache $2 \ln (| y |)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{\ln ({| y |}^{2}) - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Schritt 3.6.1.1.2

Entferne den Absolutwert in ${| y |}^{2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$\frac{\ln (y^{2}) - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Schritt 3.6.1.1.3

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| x^{2} + 1 |})}{2} = C$

Schritt 3.6.1.2

Schreibe $\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| x^{2} + 1 |})}{2}$ als $\frac{1}{2} \ln (\frac{y^{2}}{| x^{2} + 1 |})$ um.

$\frac{1}{2} \ln (\frac{y^{2}}{| x^{2} + 1 |}) = C$

Schritt 3.6.1.3

Vereinfache $\frac{1}{2} \ln (\frac{y^{2}}{| x^{2} + 1 |})$ , indem du $\frac{1}{2}$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln ({(\frac{y^{2}}{| x^{2} + 1 |})}^{\frac{1}{2}}) = C$

Schritt 3.6.1.4

Wende die Produktregel auf $\frac{y^{2}}{| x^{2} + 1 |}$ an.

$\ln (\frac{{(y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Schritt 3.6.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.1.5.1

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 3.6.1.5.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{y^{2 (\frac{1}{2})}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Schritt 3.6.1.5.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.6.1.5.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (\frac{y^{2 (\frac{1}{2})}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Schritt 3.6.1.5.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (\frac{y^{1}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Schritt 3.6.1.5.2

Vereinfache.

$\ln (\frac{y}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Schritt 3.7

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (\frac{y}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}})} = e^{C}$

Schritt 3.8

Schreibe $\ln (\frac{y}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{y}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.9

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.9.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{y}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}} = e^{C}$ um.

$\frac{y}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}} = e^{C}$

Schritt 3.9.2

Multipliziere beide Seiten mit ${| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}} {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 3.9.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.9.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 3.9.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}} {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 3.9.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = e^{C} {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = C {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 5

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $C$ zu finden indem $0$ für $x$ und $1$ für $y$ in $y = C {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ ersetzt wird.

$1 = C {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6

Löse nach $C$ auf.

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Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als $C {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} = 1$ um.

$C {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} = 1$

Schritt 6.2

Teile jeden Ausdruck in $C {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} = 1$ durch ${| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Teile jeden Ausdruck in $C {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} = 1$ durch ${| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{C {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{{| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{C {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{{| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6.2.2.2

Dividiere $C$ durch $1$ .

$C = \frac{1}{{| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.3.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.3.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$C = \frac{1}{{| 0 + 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6.2.3.1.2

Addiere $0$ und $1$ .

$C = \frac{1}{{| 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6.2.3.1.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$C = \frac{1}{1^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6.2.3.1.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$C = \frac{1}{1}$

Schritt 6.2.3.2

Dividiere $1$ durch $1$ .

$C = 1$

Schritt 7

Setze $1$ für $C$ in $y = C {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ ein und vereinfache.

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Schritt 7.1

Ersetze $C$ durch $1$ .

$y = 1 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere ${| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$y = {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$