Analysis Beispiele

$y^{2} \frac{d y}{d x} = x^{- 3}$ , $y (2) = 0$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$y^{2} d y = x^{- 3} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int y^{2} d y = \int x^{- 3} d x$

Schritt 2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{2}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int x^{- 3} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 3}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{- 2} + C_{2}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.3.2.1

Schreibe $- \frac{1}{2} x^{- 2} + C_{2}$ als $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} + C_{2}$ um.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x^{2}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{x^{2} \cdot 2} + C_{2}$

Schritt 2.3.2.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{3} y^{3} = - \frac{1}{2 x^{2}} + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + K)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{3} = 3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + K)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + K)$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{3} = 3 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + 3 K$

Schritt 3.2.2.1.2

Multipliziere $3 (- \frac{1}{2 x^{2}})$ .

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Schritt 3.2.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$y^{3} = - 3 \frac{1}{2 x^{2}} + 3 K$

Schritt 3.2.2.1.2.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$y^{3} = \frac{- 3}{2 x^{2}} + 3 K$

Schritt 3.2.2.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y^{3} = - \frac{3}{2 x^{2}} + 3 K$

Schritt 3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \sqrt[3]{- \frac{3}{2 x^{2}} + 3 K}$

Schritt 3.4

Vereinfache $\sqrt[3]{- \frac{3}{2 x^{2}} + 3 K}$ .

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $3$ aus $- \frac{3}{2 x^{2}} + 3 K$ heraus.

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Schritt 3.4.1.1

Faktorisiere $3$ aus $- \frac{3}{2 x^{2}}$ heraus.

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + 3 K}$

Schritt 3.4.1.2

Faktorisiere $3$ aus $3 K$ heraus.

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + 3 K}$

Schritt 3.4.1.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + 3 K$ heraus.

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + K)}$

Schritt 3.4.2

Um $K$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 x^{2}}{2 x^{2}}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + K \cdot \frac{2 x^{2}}{2 x^{2}})}$

Schritt 3.4.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.4.3.1

Kombiniere $K$ und $\frac{2 x^{2}}{2 x^{2}}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{K (2 x^{2})}{2 x^{2}})}$

Schritt 3.4.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{- 1 + K (2 x^{2})}{2 x^{2}}}$

Schritt 3.4.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $K$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{- 1 + 2 K x^{2}}{2 x^{2}}}$

Schritt 3.4.5

Kombiniere $3$ und $\frac{- 1 + 2 K x^{2}}{2 x^{2}}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 (- 1 + 2 K x^{2})}{2 x^{2}}}$

Schritt 3.4.6

Schreibe $\sqrt[3]{\frac{3 (- 1 + 2 K x^{2})}{2 x^{2}}}$ als $\frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + 2 K x^{2})}}{\sqrt[3]{2 x^{2}}}$ um.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + 2 K x^{2})}}{\sqrt[3]{2 x^{2}}}$

Schritt 3.4.7

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + 2 K x^{2})}}{\sqrt[3]{2 x^{2}}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{2 x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{2 x^{2}}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + 2 K x^{2})}}{\sqrt[3]{2 x^{2}}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2 x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{2 x^{2}}}^{2}}$

Schritt 3.4.8

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.4.8.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + 2 K x^{2})}}{\sqrt[3]{2 x^{2}}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{2 x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{2 x^{2}}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + 2 K x^{2})} {\sqrt[3]{2 x^{2}}}^{2}}{\sqrt[3]{2 x^{2}} {\sqrt[3]{2 x^{2}}}^{2}}$

Schritt 3.4.8.2

Potenziere $\sqrt[3]{2 x^{2}}$ mit $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + 2 K x^{2})} {\sqrt[3]{2 x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{2 x^{2}}}^{1} {\sqrt[3]{2 x^{2}}}^{2}}$

Schritt 3.4.8.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + 2 K x^{2})} {\sqrt[3]{2 x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{2 x^{2}}}^{1 + 2}}$

Schritt 3.4.8.4

Addiere $1$ und $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + 2 K x^{2})} {\sqrt[3]{2 x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{2 x^{2}}}^{3}}$

Schritt 3.4.8.5

Schreibe ${\sqrt[3]{2 x^{2}}}^{3}$ als $2 x^{2}$ um.

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Schritt 3.4.8.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{2 x^{2}}$ als ${(2 x^{2})}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + 2 K x^{2})} {\sqrt[3]{2 x^{2}}}^{2}}{{({(2 x^{2})}^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Schritt 3.4.8.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + 2 K x^{2})} {\sqrt[3]{2 x^{2}}}^{2}}{{(2 x^{2})}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Schritt 3.4.8.5.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + 2 K x^{2})} {\sqrt[3]{2 x^{2}}}^{2}}{{(2 x^{2})}^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 3.4.8.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.4.8.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + 2 K x^{2})} {\sqrt[3]{2 x^{2}}}^{2}}{{(2 x^{2})}^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 3.4.8.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + 2 K x^{2})} {\sqrt[3]{2 x^{2}}}^{2}}{{(2 x^{2})}^{1}}$

Schritt 3.4.8.5.5

Vereinfache.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + 2 K x^{2})} {\sqrt[3]{2 x^{2}}}^{2}}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.9.1

Schreibe ${\sqrt[3]{2 x^{2}}}^{2}$ als $\sqrt[3]{{(2 x^{2})}^{2}}$ um.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + 2 K x^{2})} \sqrt[3]{{(2 x^{2})}^{2}}}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.9.2

Wende die Produktregel auf $2 x^{2}$ an.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + 2 K x^{2})} \sqrt[3]{2^{2} {(x^{2})}^{2}}}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.9.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + 2 K x^{2})} \sqrt[3]{4 {(x^{2})}^{2}}}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.9.4

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 3.4.9.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + 2 K x^{2})} \sqrt[3]{4 x^{2 \cdot 2}}}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.9.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + 2 K x^{2})} \sqrt[3]{4 x^{4}}}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.9.5

Schreibe $4 x^{4}$ als $x^{3} \cdot (4 x)$ um.

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Schritt 3.4.9.5.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + 2 K x^{2})} \sqrt[3]{4 (x^{3} x)}}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.9.5.2

Stelle $4$ und $x^{3}$ um.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + 2 K x^{2})} \sqrt[3]{x^{3} \cdot 4 x}}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.9.5.3

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + 2 K x^{2})} \sqrt[3]{x^{3} \cdot (4 x)}}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.9.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + 2 K x^{2})} x \sqrt[3]{4 x}}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.9.7

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 3.4.9.7.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$y = \frac{x \sqrt[3]{3 (- 1 + 2 K x^{2}) (4 x)}}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.9.7.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$y = \frac{x \sqrt[3]{12 (- 1 + 2 K x^{2}) x}}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.10

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.4.10.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

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Schritt 3.4.10.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x \sqrt[3]{12 (- 1 + 2 K x^{2}) x}$ heraus.

$y = \frac{x \sqrt[3]{12 (- 1 + 2 K x^{2}) x}}{2 x^{2}}$

Schritt 3.4.10.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.4.10.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{x \sqrt[3]{12 (- 1 + 2 K x^{2}) x}}{x (2 x)}$

Schritt 3.4.10.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{x \sqrt[3]{12 (- 1 + 2 K x^{2}) x}}{x (2 x)}$

Schritt 3.4.10.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{\sqrt[3]{12 (- 1 + 2 K x^{2}) x}}{2 x}$

Schritt 3.4.10.2

Stelle die Faktoren in $\frac{\sqrt[3]{12 (- 1 + 2 K x^{2}) x}}{2 x}$ um.

$y = \frac{\sqrt[3]{12 x (- 1 + 2 K x^{2})}}{2 x}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{\sqrt[3]{12 x (- 1 + K x^{2})}}{2 x}$

Schritt 5

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $2$ für $x$ und $0$ für $y$ in $y = \frac{\sqrt[3]{12 x (- 1 + K x^{2})}}{2 x}$ ersetzt wird.

$0 = \frac{\sqrt[3]{12 \cdot 2 (- 1 + K \cdot 2^{2})}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 6.1

Setze den Zähler gleich Null.

$\sqrt[3]{12 \cdot (2 (- 1 + K \cdot 2^{2}))} = 0$

Schritt 6.2

Löse die Gleichung nach $K$ auf.

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Schritt 6.2.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${\sqrt[3]{12 \cdot (2 (- 1 + K \cdot 2^{2}))}}^{3} = 0^{3}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 6.2.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{12 \cdot (2 (- 1 + K \cdot 2^{2}))}$ als ${(12 \cdot (2 (- 1 + K \cdot 2^{2})))}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

${({(12 \cdot (2 (- 1 + K \cdot 2^{2})))}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.2.1

Vereinfache ${({(12 \cdot (2 (- 1 + K \cdot 2^{2})))}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 6.2.2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(12 \cdot (2 (- 1 + K \cdot 2^{2})))}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 6.2.2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(12 \cdot (2 (- 1 + K \cdot 2^{2})))}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 6.2.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.2.2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(12 \cdot (2 (- 1 + K \cdot 2^{2})))}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 6.2.2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(12 \cdot (2 (- 1 + K \cdot 2^{2})))}^{1} = 0^{3}$

Schritt 6.2.2.2.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.2.2.1.2.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

${(12 \cdot (2 (- 1 + K \cdot 4)))}^{1} = 0^{3}$

Schritt 6.2.2.2.1.2.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $K$ .

${(12 \cdot (2 (- 1 + 4 K)))}^{1} = 0^{3}$

Schritt 6.2.2.2.1.3

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 6.2.2.2.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

${(12 \cdot (2 \cdot - 1 + 2 (4 K)))}^{1} = 0^{3}$

Schritt 6.2.2.2.1.3.2

Multipliziere.

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Schritt 6.2.2.2.1.3.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

${(12 \cdot (- 2 + 2 (4 K)))}^{1} = 0^{3}$

Schritt 6.2.2.2.1.3.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

${(12 \cdot (- 2 + 8 K))}^{1} = 0^{3}$

Schritt 6.2.2.2.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

${(12 \cdot - 2 + 12 (8 K))}^{1} = 0^{3}$

Schritt 6.2.2.2.1.3.4

Multipliziere.

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Schritt 6.2.2.2.1.3.4.1

Mutltipliziere $12$ mit $- 2$ .

${(- 24 + 12 (8 K))}^{1} = 0^{3}$

Schritt 6.2.2.2.1.3.4.2

Mutltipliziere $8$ mit $12$ .

${(- 24 + 96 K)}^{1} = 0^{3}$

Schritt 6.2.2.2.1.3.4.3

Vereinfache.

$- 24 + 96 K = 0^{3}$

Schritt 6.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- 24 + 96 K = 0$

Schritt 6.2.3

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 6.2.3.1

Addiere $24$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$96 K = 24$

Schritt 6.2.3.2

Teile jeden Ausdruck in $96 K = 24$ durch $96$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $96 K = 24$ durch $96$ .

$\frac{96 K}{96} = \frac{24}{96}$

Schritt 6.2.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $96$ .

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Schritt 6.2.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{96 K}{96} = \frac{24}{96}$

Schritt 6.2.3.2.2.1.2

Dividiere $K$ durch $1$ .

$K = \frac{24}{96}$

Schritt 6.2.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.3.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $24$ und $96$ .

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Schritt 6.2.3.2.3.1.1

Faktorisiere $24$ aus $24$ heraus.

$K = \frac{24 (1)}{96}$

Schritt 6.2.3.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.3.2.3.1.2.1

Faktorisiere $24$ aus $96$ heraus.

$K = \frac{24 \cdot 1}{24 \cdot 4}$

Schritt 6.2.3.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$K = \frac{24 \cdot 1}{24 \cdot 4}$

Schritt 6.2.3.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$K = \frac{1}{4}$

Schritt 7

Setze $\frac{1}{4}$ für $K$ in $y = \frac{\sqrt[3]{12 x (- 1 + K x^{2})}}{2 x}$ ein und vereinfache.

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Schritt 7.1

Ersetze $K$ durch $\frac{1}{4}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{12 x (- 1 + \frac{1}{4} x^{2})}}{2 x}$

Schritt 7.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{2}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{12 x (- 1 + \frac{x^{2}}{4})}}{2 x}$

Schritt 7.2.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{12 x (- 1 \cdot \frac{4}{4} + \frac{x^{2}}{4})}}{2 x}$

Schritt 7.2.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{12 x (\frac{- 1 \cdot 4}{4} + \frac{x^{2}}{4})}}{2 x}$

Schritt 7.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{\sqrt[3]{12 x \frac{- 1 \cdot 4 + x^{2}}{4}}}{2 x}$

Schritt 7.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.5.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{\sqrt[3]{12 x \frac{- 2^{2} + x^{2}}{4}}}{2 x}$

Schritt 7.2.5.2

Stelle $- 2^{2}$ und $x^{2}$ um.

$y = \frac{\sqrt[3]{12 x \frac{x^{2} - 2^{2}}{4}}}{2 x}$

Schritt 7.2.5.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{12 x \frac{(x + 2) (x - 2)}{4}}}{2 x}$

Schritt 7.2.6

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 7.2.6.1

Kombiniere $12$ und $\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x \frac{12 ((x + 2) (x - 2))}{4}}}{2 x}$

Schritt 7.2.6.2

Kombiniere $x$ und $\frac{12 ((x + 2) (x - 2))}{4}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{\frac{x (12 ((x + 2) (x - 2)))}{4}}}{2 x}$

Schritt 7.2.7

Entferne unnötige Klammern.

$y = \frac{\sqrt[3]{\frac{x \cdot 12 (x + 2) (x - 2)}{4}}}{2 x}$

Schritt 7.2.8

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.8.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{x \cdot 12 (x + 2) (x - 2)}{4}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.8.1.1

Faktorisiere $4$ aus $x \cdot 12 (x + 2) (x - 2)$ heraus.

$y = \frac{\sqrt[3]{\frac{4 (x \cdot 3 (x + 2) (x - 2))}{4}}}{2 x}$

Schritt 7.2.8.1.2

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$y = \frac{\sqrt[3]{\frac{4 (x \cdot 3 (x + 2) (x - 2))}{4 (1)}}}{2 x}$

Schritt 7.2.8.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{\sqrt[3]{\frac{4 (x \cdot 3 (x + 2) (x - 2))}{4 \cdot 1}}}{2 x}$

Schritt 7.2.8.1.4

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{\sqrt[3]{\frac{x \cdot 3 (x + 2) (x - 2)}{1}}}{2 x}$

Schritt 7.2.8.2

Dividiere $x \cdot 3 (x + 2) (x - 2)$ durch $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x \cdot 3 (x + 2) (x - 2)}}{2 x}$

Schritt 7.3

Stelle die Faktoren in $y = \frac{\sqrt[3]{x \cdot 3 (x + 2) (x - 2)}}{2 x}$ um.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x (x + 2) (x - 2)}}{2 x}$