Analysis Beispiele

$x^{2} (y d) y - (x + 1) (y + 1) d x = 0$

Schritt 1

Addiere $(x + 1) (y + 1) d x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} y d y = (x + 1) (y + 1) d x$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{x^{2} (y + 1)}$ .

$\frac{1}{x^{2} (y + 1)} (x^{2} y) d y = \frac{1}{x^{2} (y + 1)} ((x + 1) (y + 1)) d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} y$ heraus.

$\frac{1}{x^{2} (y + 1)} (x^{2} (y)) d y = \frac{1}{x^{2} (y + 1)} ((x + 1) (y + 1)) d x$

Schritt 3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{x^{2} (y + 1)} (x^{2} y) d y = \frac{1}{x^{2} (y + 1)} ((x + 1) (y + 1)) d x$

Schritt 3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y + 1} y d y = \frac{1}{x^{2} (y + 1)} ((x + 1) (y + 1)) d x$

Schritt 3.2

Kombiniere $\frac{1}{y + 1}$ und $y$ .

$\frac{y}{y + 1} d y = \frac{1}{x^{2} (y + 1)} ((x + 1) (y + 1)) d x$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y + 1$ .

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $y + 1$ aus $x^{2} (y + 1)$ heraus.

$\frac{y}{y + 1} d y = \frac{1}{(y + 1) x^{2}} ((x + 1) (y + 1)) d x$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere $y + 1$ aus $(x + 1) (y + 1)$ heraus.

$\frac{y}{y + 1} d y = \frac{1}{(y + 1) x^{2}} ((y + 1) (x + 1)) d x$

Schritt 3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{y + 1} d y = \frac{1}{(y + 1) x^{2}} ((y + 1) (x + 1)) d x$

Schritt 3.3.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y}{y + 1} d y = \frac{1}{x^{2}} (x + 1) d x$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $\frac{1}{x^{2}}$ mit $x + 1$ .

$\frac{y}{y + 1} d y = \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

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Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{y}{y + 1} d y = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

Schritt 4.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Dividiere $y$ durch $y + 1$ .

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Schritt 4.2.1.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$y$

$1$

$y$

$0$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $y$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $y$ .

					$1$
	$y$	+	$1$		$y$	+	$0$

Schritt 4.2.1.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			+	$y$	+	$1$

Schritt 4.2.1.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $y + 1$

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$1$

Schritt 4.2.1.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$1$
					-	$1$

Schritt 4.2.1.6

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$\int 1 - \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

Schritt 4.2.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int d y + \int - \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

Schritt 4.2.3

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} + \int - \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

Schritt 4.2.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$y + C_{1} - \int \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

Schritt 4.2.5

Sei $u = y + 1$ . Dann ist $d u = d y$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.2.5.1

Es sei $u = y + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 4.2.5.1.1

Differenziere $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Schritt 4.2.5.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y + 1$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 4.2.5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 4.2.5.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 4.2.5.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 4.2.5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$y + C_{1} - \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

Schritt 4.2.6

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} - (\ln (| u |) + C_{2}) = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

Schritt 4.2.7

Vereinfache.

$y - \ln (| u |) + C_{3} = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

Schritt 4.2.8

Ersetze alle $u$ durch $y + 1$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

Schritt 4.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.3.1.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int (x + 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Schritt 4.3.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.3.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int (x + 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

Schritt 4.3.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int (x + 1) x^{- 2} d x$

Schritt 4.3.2

Multipliziere $(x + 1) x^{- 2}$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int x \cdot x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

Schritt 4.3.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.3.1

Multipliziere $x$ mit $x^{- 2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.3.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{- 2}$ .

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Schritt 4.3.3.1.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int x^{1} x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

Schritt 4.3.3.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int x^{1 - 2} + 1 x^{- 2} d x$

Schritt 4.3.3.1.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int x^{- 1} + 1 x^{- 2} d x$

Schritt 4.3.3.2

Mutltipliziere $x^{- 2}$ mit $1$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int x^{- 1} + x^{- 2} d x$

Schritt 4.3.4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int x^{- 1} d x + \int x^{- 2} d x$

Schritt 4.3.5

Das Integral von $x^{- 1}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4} + \int x^{- 2} d x$

Schritt 4.3.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4} - x^{- 1} + C_{5}$

Schritt 4.3.7

Vereinfache.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \ln (| x |) - \frac{1}{x} + C_{6}$

Schritt 4.3.8

Stelle die Terme um.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - \frac{1}{x} + \ln (| x |) + C_{6}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$y - \ln (| y + 1 |) = - \frac{1}{x} + \ln (| x |) + C$