Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = 25 e^{x} - x^{2}$ , $y (0) = 19$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = (25 e^{x} - x^{2}) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int 25 e^{x} - x^{2} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int 25 e^{x} - x^{2} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{1} = \int 25 e^{x} d x + \int - x^{2} d x$

Schritt 2.3.2

Da $25$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $25$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 25 \int e^{x} d x + \int - x^{2} d x$

Schritt 2.3.3

Das Integral von $e^{x}$ nach $x$ ist $e^{x}$ .

$y + C_{1} = 25 (e^{x} + C_{2}) + \int - x^{2} d x$

Schritt 2.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 25 (e^{x} + C_{2}) - \int x^{2} d x$

Schritt 2.3.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = 25 (e^{x} + C_{2}) - (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3})$

Schritt 2.3.6

Vereinfache.

$y + C_{1} = 25 e^{x} - \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.7

Stelle die Terme um.

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} x^{3} + 25 e^{x} + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = - \frac{1}{3} x^{3} + 25 e^{x} + K$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $0$ für $x$ und $19$ für $y$ in $y = - \frac{1}{3} x^{3} + 25 e^{x} + K$ ersetzt wird.

$19 = - \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 25 e^{0} + K$

Schritt 4

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $- \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 25 e^{0} + K = 19$ um.

$- \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 25 e^{0} + K = 19$

Schritt 4.2

Vereinfache $- \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 25 e^{0} + K$ .

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{1}{3} \cdot 0 + 25 e^{0} + K = 19$

Schritt 4.2.1.2

Multipliziere $- \frac{1}{3} \cdot 0$ .

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Schritt 4.2.1.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$0 (\frac{1}{3}) + 25 e^{0} + K = 19$

Schritt 4.2.1.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{1}{3}$ .

$0 + 25 e^{0} + K = 19$

Schritt 4.2.1.3

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$0 + 25 \cdot 1 + K = 19$

Schritt 4.2.1.4

Mutltipliziere $25$ mit $1$ .

$0 + 25 + K = 19$

Schritt 4.2.2

Addiere $0$ und $25$ .

$25 + K = 19$

Schritt 4.3

Bringe alle Terme, die nicht $K$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Subtrahiere $25$ von beiden Seiten der Gleichung.

$K = 19 - 25$

Schritt 4.3.2

Subtrahiere $25$ von $19$ .

$K = - 6$

Schritt 5

Setze $- 6$ für $K$ in $y = - \frac{1}{3} x^{3} + 25 e^{x} + K$ ein und vereinfache.

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Schritt 5.1

Ersetze $K$ durch $- 6$ .

$y = - \frac{1}{3} x^{3} + 25 e^{x} - 6$

Schritt 5.2

Kombiniere $x^{3}$ und $\frac{1}{3}$ .

$y = - \frac{x^{3}}{3} + 25 e^{x} - 6$