Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = {(x + 2)}^{2} e^{y}$ , $y (1) = 0$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{e^{y}}$ .

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{y}} ({(x + 2)}^{2} e^{y})$

Schritt 1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{y}$ .

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Schritt 1.2.1.1

Faktorisiere $e^{y}$ aus ${(x + 2)}^{2} e^{y}$ heraus.

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{y}} (e^{y} {(x + 2)}^{2})$

Schritt 1.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{y}} (e^{y} {(x + 2)}^{2})$

Schritt 1.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = {(x + 2)}^{2}$

Schritt 1.2.2

Schreibe ${(x + 2)}^{2}$ als $(x + 2) (x + 2)$ um.

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = (x + 2) (x + 2)$

Schritt 1.2.3

Multipliziere $(x + 2) (x + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = x (x + 2) + 2 (x + 2)$

Schritt 1.2.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)$

Schritt 1.2.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

Schritt 1.2.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.2.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.4.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

Schritt 1.2.4.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2$

Schritt 1.2.4.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = x^{2} + 2 x + 2 x + 4$

Schritt 1.2.4.2

Addiere $2 x$ und $2 x$ .

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = x^{2} + 4 x + 4$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{e^{y}} d y = (x^{2} + 4 x + 4) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{e^{y}} d y = \int x^{2} + 4 x + 4 d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.1.1

Kehre das Vorzeichen des Exponenten von $e^{y}$ um und ziehe es aus dem Nenner heraus.

$\int 1 {(e^{y})}^{- 1} d y = \int x^{2} + 4 x + 4 d x$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{y})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.1.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{y \cdot - 1} d y = \int x^{2} + 4 x + 4 d x$

Schritt 2.2.1.2.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $y$ .

$\int 1 e^{- 1 \cdot y} d y = \int x^{2} + 4 x + 4 d x$

Schritt 2.2.1.2.1.3

Schreibe $- 1 y$ als $- y$ um.

$\int 1 e^{- y} d y = \int x^{2} + 4 x + 4 d x$

Schritt 2.2.1.2.2

Mutltipliziere $e^{- y}$ mit $1$ .

$\int e^{- y} d y = \int x^{2} + 4 x + 4 d x$

Schritt 2.2.2

Sei $u = - y$ . Dann ist $d u = - d y$ , folglich $- d u = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.2.2.1

Es sei $u = - y$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Differenziere $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

Schritt 2.2.2.1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- y$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.2.2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Schritt 2.2.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 2.2.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int - e^{u} d u = \int x^{2} + 4 x + 4 d x$

Schritt 2.2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int e^{u} d u = \int x^{2} + 4 x + 4 d x$

Schritt 2.2.4

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$- (e^{u} + C_{1}) = \int x^{2} + 4 x + 4 d x$

Schritt 2.2.5

Vereinfache.

$- e^{u} + C_{1} = \int x^{2} + 4 x + 4 d x$

Schritt 2.2.6

Ersetze alle $u$ durch $- y$ .

$- e^{- y} + C_{1} = \int x^{2} + 4 x + 4 d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$- e^{- y} + C_{1} = \int x^{2} d x + \int 4 x d x + \int 4 d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- e^{- y} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int 4 x d x + \int 4 d x$

Schritt 2.3.3

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$- e^{- y} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + 4 \int x d x + \int 4 d x$

Schritt 2.3.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- e^{- y} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + \int 4 d x$

Schritt 2.3.5

Wende die Konstantenregel an.

$- e^{- y} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + 4 x + C_{4}$

Schritt 2.3.6

Vereinfache.

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Schritt 2.3.6.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$- e^{- y} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{3}) + 4 x + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2

Vereinfache.

$- e^{- y} + C_{1} = \frac{x^{3}}{3} + 2 x^{2} + 4 x + C_{5}$

Schritt 2.3.6.3

Stelle die Terme um.

$- e^{- y} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + 2 x^{2} + 4 x + C_{5}$

Schritt 2.3.7

Stelle die Terme um.

$- e^{- y} + C_{1} = 2 x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 4 x + C_{5}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$- e^{- y} = 2 x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 4 x + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $- e^{- y} = 2 x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 4 x + K$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $- e^{- y} = 2 x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 4 x + K$ durch $- 1$ .

$\frac{- e^{- y}}{- 1} = \frac{2 x^{2}}{- 1} + \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{- 1} + \frac{4 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{e^{- y}}{1} = \frac{2 x^{2}}{- 1} + \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{- 1} + \frac{4 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Schritt 3.1.2.2

Dividiere $e^{- y}$ durch $1$ .

$e^{- y} = \frac{2 x^{2}}{- 1} + \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{- 1} + \frac{4 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Schritt 3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{2 x^{2}}{- 1}$ .

$e^{- y} = - 1 \cdot (2 x^{2}) + \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{- 1} + \frac{4 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Schritt 3.1.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot (2 x^{2})$ als $- (2 x^{2})$ um.

$e^{- y} = - (2 x^{2}) + \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{- 1} + \frac{4 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Schritt 3.1.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$e^{- y} = - 2 x^{2} + \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{- 1} + \frac{4 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Schritt 3.1.3.1.4

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\frac{1}{3} x^{3}}{- 1}$ .

$e^{- y} = - 2 x^{2} - 1 \cdot (\frac{1}{3} x^{3}) + \frac{4 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Schritt 3.1.3.1.5

Schreibe $- 1 \cdot (\frac{1}{3} x^{3})$ als $- (\frac{1}{3} x^{3})$ um.

$e^{- y} = - 2 x^{2} - (\frac{1}{3} x^{3}) + \frac{4 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Schritt 3.1.3.1.6

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$e^{- y} = - 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} + \frac{4 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Schritt 3.1.3.1.7

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{4 x}{- 1}$ .

$e^{- y} = - 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 1 \cdot (4 x) + \frac{K}{- 1}$

Schritt 3.1.3.1.8

Schreibe $- 1 \cdot (4 x)$ als $- (4 x)$ um.

$e^{- y} = - 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - (4 x) + \frac{K}{- 1}$

Schritt 3.1.3.1.9

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$e^{- y} = - 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x + \frac{K}{- 1}$

Schritt 3.1.3.1.10

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{K}{- 1}$ .

$e^{- y} = - 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - 1 \cdot K$

Schritt 3.1.3.1.11

Schreibe $- 1 \cdot K$ als $- K$ um.

$e^{- y} = - 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K$

Schritt 3.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{- y}) = \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)$

Schritt 3.3

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 3.3.1

Zerlege $\ln (e^{- y})$ durch Herausziehen von $- y$ aus dem Logarithmus.

$- y \ln (e) = \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)$

Schritt 3.3.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$- y \cdot 1 = \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- y = \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)$

Schritt 3.4

Teile jeden Ausdruck in $- y = \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Teile jeden Ausdruck in $- y = \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)$ durch $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)}{- 1}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y}{1} = \frac{\ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)}{- 1}$

Schritt 3.4.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)}{- 1}$

Schritt 3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.3.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)$

Schritt 3.4.3.2

Schreibe $- 1 \cdot \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)$ als $- \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)$ um.

$y = - \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = - \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x + K)$

Schritt 5

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $1$ für $x$ und $0$ für $y$ in $y = - \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x + K)$ ersetzt wird.

$0 = - \ln (- 2 \cdot 1^{2} - \frac{1^{3}}{3} - 4 \cdot 1 + K)$

Schritt 6

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als $- \ln (- 2 \cdot 1^{2} - \frac{1^{3}}{3} - 4 \cdot 1 + K) = 0$ um.

$- \ln (- 2 \cdot 1^{2} - \frac{1^{3}}{3} - 4 \cdot 1 + K) = 0$

Schritt 6.2

Teile jeden Ausdruck in $- \ln (- 2 \cdot 1^{2} - \frac{1^{3}}{3} - 4 \cdot 1 + K) = 0$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- \ln (- 2 \cdot 1^{2} - \frac{1^{3}}{3} - 4 \cdot 1 + K) = 0$ durch $- 1$ .

$\frac{- \ln (- 2 \cdot 1^{2} - \frac{1^{3}}{3} - 4 \cdot 1 + K)}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.2.1.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\ln (- 2 \cdot 1^{2} - \frac{1^{3}}{3} - 4 + K)}{1} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 6.2.2.1.2

Dividiere $\ln (- 2 \cdot 1^{2} - \frac{1^{3}}{3} - 4 + K)$ durch $1$ .

$\ln (- 2 \cdot 1^{2} - \frac{1^{3}}{3} - 4 + K) = \frac{0}{- 1}$

Schritt 6.2.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.2.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\ln (- 2 \cdot 1 - \frac{1^{3}}{3} - 4 + K) = \frac{0}{- 1}$

Schritt 6.2.2.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\ln (- 2 - \frac{1^{3}}{3} - 4 + K) = \frac{0}{- 1}$

Schritt 6.2.2.2.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\ln (- 2 - \frac{1}{3} - 4 + K) = \frac{0}{- 1}$

Schritt 6.2.2.3

Um $- 2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\ln (- 2 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} - 4 + K) = \frac{0}{- 1}$

Schritt 6.2.2.4

Kombiniere $- 2$ und $\frac{3}{3}$ .

$\ln (\frac{- 2 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3} - 4 + K) = \frac{0}{- 1}$

Schritt 6.2.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\ln (\frac{- 2 \cdot 3 - 1}{3} - 4 + K) = \frac{0}{- 1}$

Schritt 6.2.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.2.6.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$\ln (\frac{- 6 - 1}{3} - 4 + K) = \frac{0}{- 1}$

Schritt 6.2.2.6.2

Subtrahiere $1$ von $- 6$ .

$\ln (\frac{- 7}{3} - 4 + K) = \frac{0}{- 1}$

Schritt 6.2.2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\ln (- \frac{7}{3} - 4 + K) = \frac{0}{- 1}$

Schritt 6.2.2.8

Um $- 4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\ln (- \frac{7}{3} - 4 \cdot \frac{3}{3} + K) = \frac{0}{- 1}$

Schritt 6.2.2.9

Kombiniere $- 4$ und $\frac{3}{3}$ .

$\ln (- \frac{7}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3} + K) = \frac{0}{- 1}$

Schritt 6.2.2.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\ln (\frac{- 7 - 4 \cdot 3}{3} + K) = \frac{0}{- 1}$

Schritt 6.2.2.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.2.11.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$\ln (\frac{- 7 - 12}{3} + K) = \frac{0}{- 1}$

Schritt 6.2.2.11.2

Subtrahiere $12$ von $- 7$ .

$\ln (\frac{- 19}{3} + K) = \frac{0}{- 1}$

Schritt 6.2.2.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\ln (- \frac{19}{3} + K) = \frac{0}{- 1}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.3.1

Dividiere $0$ durch $- 1$ .

$\ln (- \frac{19}{3} + K) = 0$

Schritt 6.3

Um nach $K$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (- \frac{19}{3} + K)} = e^{0}$

Schritt 6.4

Schreibe $\ln (- \frac{19}{3} + K) = 0$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{0} = - \frac{19}{3} + K$

Schritt 6.5

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 6.5.1

Schreibe die Gleichung als $- \frac{19}{3} + K = e^{0}$ um.

$- \frac{19}{3} + K = e^{0}$

Schritt 6.5.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$- \frac{19}{3} + K = 1$

Schritt 6.5.3

Bringe alle Terme, die nicht $K$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.5.3.1

Addiere $\frac{19}{3}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$K = 1 + \frac{19}{3}$

Schritt 6.5.3.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$K = \frac{3}{3} + \frac{19}{3}$

Schritt 6.5.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$K = \frac{3 + 19}{3}$

Schritt 6.5.3.4

Addiere $3$ und $19$ .

$K = \frac{22}{3}$

Schritt 7

Setze $\frac{22}{3}$ für $K$ in $y = - \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x + K)$ ein und vereinfache.

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Schritt 7.1

Ersetze $K$ durch $\frac{22}{3}$ .

$y = - \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x + \frac{22}{3})$