Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d t} = \frac{8 t y}{t^{2} + 1}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d y}{d t} = \frac{8 t}{t^{2} + 1} y$

Schritt 1.2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} (\frac{8 t}{t^{2} + 1} y)$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.3.1

Faktorisiere $y$ aus $\frac{8 t}{t^{2} + 1} y$ heraus.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} (y \frac{8 t}{t^{2} + 1})$

Schritt 1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} (y \frac{8 t}{t^{2} + 1})$

Schritt 1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{8 t}{t^{2} + 1}$

Schritt 1.4

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y} d y = \frac{8 t}{t^{2} + 1} d t$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{8 t}{t^{2} + 1} d t$

Schritt 2.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{8 t}{t^{2} + 1} d t$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $8$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $8$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 8 \int \frac{t}{t^{2} + 1} d t$

Schritt 2.3.2

Sei $u = t^{2} + 1$ . Dann ist $d u = 2 t d t$ , folglich $\frac{1}{2} d u = t d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.2.1

Es sei $u = t^{2} + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Differenziere $t^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2} + 1]$

Schritt 2.3.2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t^{2} + 1$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

Schritt 2.3.2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 t + \frac{d}{d t} [1]$

Schritt 2.3.2.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$2 t + 0$

Schritt 2.3.2.1.5

Addiere $2 t$ und $0$ .

$2 t$

Schritt 2.3.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\ln (| y |) + C_{1} = 8 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 2.3.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 8 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Schritt 2.3.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 8 \int \frac{1}{2 u} d u$

Schritt 2.3.4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $8$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{8}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 2.3.5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $2$ .

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Schritt 2.3.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 2.3.5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.5.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 2.3.5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 2.3.5.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{4}{1} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 2.3.5.2.2.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 2.3.6

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\ln (| u |) + C_{2})$

Schritt 2.3.7

Vereinfache.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \ln (| u |) + C_{2}$

Schritt 2.3.8

Ersetze alle $u$ durch $t^{2} + 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \ln (| t^{2} + 1 |) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y |) = 4 \ln (| t^{2} + 1 |) + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| y |) - 4 \ln (| t^{2} + 1 |) = C$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache $\ln (| y |) - 4 \ln (| t^{2} + 1 |)$ .

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1.1

Vereinfache $- 4 \ln (| t^{2} + 1 |)$ , indem du $4$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln (| y |) - \ln ({| t^{2} + 1 |}^{4}) = C$

Schritt 3.2.1.1.2

Entferne den Absolutwert in ${| t^{2} + 1 |}^{4}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$\ln (| y |) - \ln ({(t^{2} + 1)}^{4}) = C$

Schritt 3.2.1.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{{(t^{2} + 1)}^{4}}) = C$

Schritt 3.3

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (\frac{| y |}{{(t^{2} + 1)}^{4}})} = e^{C}$

Schritt 3.4

Schreibe $\ln (\frac{| y |}{{(t^{2} + 1)}^{4}}) = C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{{(t^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.5.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{| y |}{{(t^{2} + 1)}^{4}} = e^{C}$ um.

$\frac{| y |}{{(t^{2} + 1)}^{4}} = e^{C}$

Schritt 3.5.2

Multipliziere beide Seiten mit ${(t^{2} + 1)}^{4}$ .

$\frac{| y |}{{(t^{2} + 1)}^{4}} {(t^{2} + 1)}^{4} = e^{C} {(t^{2} + 1)}^{4}$

Schritt 3.5.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(t^{2} + 1)}^{4}$ .

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Schritt 3.5.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{| y |}{{(t^{2} + 1)}^{4}} {(t^{2} + 1)}^{4} = e^{C} {(t^{2} + 1)}^{4}$

Schritt 3.5.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$| y | = e^{C} {(t^{2} + 1)}^{4}$

Schritt 3.5.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.5.4.1

Vereinfache $e^{C} {(t^{2} + 1)}^{4}$ .

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Schritt 3.5.4.1.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$| y | = e^{C} ({(t^{2})}^{4} + 4 {(t^{2})}^{3} \cdot 1 + 6 {(t^{2})}^{2} \cdot 1^{2} + 4 t^{2} \cdot 1^{3} + 1^{4})$

Schritt 3.5.4.1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.5.4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.4.1.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(t^{2})}^{4}$ .

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Schritt 3.5.4.1.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| y | = e^{C} (t^{2 \cdot 4} + 4 {(t^{2})}^{3} \cdot 1 + 6 {(t^{2})}^{2} \cdot 1^{2} + 4 t^{2} \cdot 1^{3} + 1^{4})$

Schritt 3.5.4.1.2.1.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$| y | = e^{C} (t^{8} + 4 {(t^{2})}^{3} \cdot 1 + 6 {(t^{2})}^{2} \cdot 1^{2} + 4 t^{2} \cdot 1^{3} + 1^{4})$

Schritt 3.5.4.1.2.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(t^{2})}^{3}$ .

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Schritt 3.5.4.1.2.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| y | = e^{C} (t^{8} + 4 t^{2 \cdot 3} \cdot 1 + 6 {(t^{2})}^{2} \cdot 1^{2} + 4 t^{2} \cdot 1^{3} + 1^{4})$

Schritt 3.5.4.1.2.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$| y | = e^{C} (t^{8} + 4 t^{6} \cdot 1 + 6 {(t^{2})}^{2} \cdot 1^{2} + 4 t^{2} \cdot 1^{3} + 1^{4})$

Schritt 3.5.4.1.2.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$| y | = e^{C} (t^{8} + 4 t^{6} + 6 {(t^{2})}^{2} \cdot 1^{2} + 4 t^{2} \cdot 1^{3} + 1^{4})$

Schritt 3.5.4.1.2.1.4

Multipliziere die Exponenten in ${(t^{2})}^{2}$ .

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Schritt 3.5.4.1.2.1.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| y | = e^{C} (t^{8} + 4 t^{6} + 6 t^{2 \cdot 2} \cdot 1^{2} + 4 t^{2} \cdot 1^{3} + 1^{4})$

Schritt 3.5.4.1.2.1.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$| y | = e^{C} (t^{8} + 4 t^{6} + 6 t^{4} \cdot 1^{2} + 4 t^{2} \cdot 1^{3} + 1^{4})$

Schritt 3.5.4.1.2.1.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$| y | = e^{C} (t^{8} + 4 t^{6} + 6 t^{4} \cdot 1 + 4 t^{2} \cdot 1^{3} + 1^{4})$

Schritt 3.5.4.1.2.1.6

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$| y | = e^{C} (t^{8} + 4 t^{6} + 6 t^{4} + 4 t^{2} \cdot 1^{3} + 1^{4})$

Schritt 3.5.4.1.2.1.7

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$| y | = e^{C} (t^{8} + 4 t^{6} + 6 t^{4} + 4 t^{2} \cdot 1 + 1^{4})$

Schritt 3.5.4.1.2.1.8

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$| y | = e^{C} (t^{8} + 4 t^{6} + 6 t^{4} + 4 t^{2} + 1^{4})$

Schritt 3.5.4.1.2.1.9

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$| y | = e^{C} (t^{8} + 4 t^{6} + 6 t^{4} + 4 t^{2} + 1)$

Schritt 3.5.4.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$| y | = e^{C} t^{8} + e^{C} (4 t^{6}) + e^{C} (6 t^{4}) + e^{C} (4 t^{2}) + e^{C} \cdot 1$

Schritt 3.5.4.1.3

Vereinfache.

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Schritt 3.5.4.1.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$| y | = e^{C} t^{8} + 4 e^{C} t^{6} + e^{C} (6 t^{4}) + e^{C} (4 t^{2}) + e^{C} \cdot 1$

Schritt 3.5.4.1.3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$| y | = e^{C} t^{8} + 4 e^{C} t^{6} + 6 e^{C} t^{4} + e^{C} (4 t^{2}) + e^{C} \cdot 1$

Schritt 3.5.4.1.3.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$| y | = e^{C} t^{8} + 4 e^{C} t^{6} + 6 e^{C} t^{4} + 4 e^{C} t^{2} + e^{C} \cdot 1$

Schritt 3.5.4.1.3.4

Mutltipliziere $e^{C}$ mit $1$ .

$| y | = e^{C} t^{8} + 4 e^{C} t^{6} + 6 e^{C} t^{4} + 4 e^{C} t^{2} + e^{C}$

Schritt 3.5.4.1.4

Stelle die Faktoren in $e^{C} t^{8} + 4 e^{C} t^{6} + 6 e^{C} t^{4} + 4 e^{C} t^{2} + e^{C}$ um.

$| y | = t^{8} e^{C} + 4 t^{6} e^{C} + 6 t^{4} e^{C} + 4 t^{2} e^{C} + e^{C}$

Schritt 3.5.4.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y = \pm (t^{8} e^{C} + 4 t^{6} e^{C} + 6 t^{4} e^{C} + 4 t^{2} e^{C} + e^{C})$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \pm (t^{8} C + 4 t^{6} C + 6 t^{4} C + 4 t^{2} C + C)$