Analysis Beispiele

$(4 x^{2} + 2 y^{2}) d x - (x y) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = 4 x^{2} + 2 y^{2}$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [4 x^{2} + 2 y^{2}]$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{2} + 2 y^{2}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [4 x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [4 x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y^{2}]$

Schritt 1.2.2

Da $4 x^{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{2}$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [2 y^{2}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [2 y^{2}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 y^{2}$ nach $y$ gleich $2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 (2 y)$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 4 y$

Schritt 1.4

Addiere $0$ und $4 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = - (x y)$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (x y)]$

Schritt 2.2

Da $- y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x y$ nach $x$ gleich $- y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - y \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - y \cdot 1$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - y$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $4 y$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $- y$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$4 y = - y$

Schritt 3.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$4 y = - y$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $4 y$ .

$\frac{4 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Schritt 4.2

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $- y$ .

$\frac{4 y - - y}{N}$

Schritt 4.3

Ersetze $N$ durch $- (x y)$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $N$ durch $- (x y)$ .

$\frac{4 y - - y}{- (x y)}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.2.1

Faktorisiere $y$ aus $4 y - - y$ heraus.

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Schritt 4.3.2.1.1

Faktorisiere $y$ aus $4 y$ heraus.

$\frac{y \cdot 4 - - y}{- x y}$

Schritt 4.3.2.1.2

Faktorisiere $y$ aus $- - y$ heraus.

$\frac{y \cdot 4 + y (- - 1)}{- x y}$

Schritt 4.3.2.1.3

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot 4 + y (- - 1)$ heraus.

$\frac{y (4 - - 1)}{- x y}$

Schritt 4.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{y (4 + 1)}{- x y}$

Schritt 4.3.2.3

Addiere $4$ und $1$ .

$\frac{y \cdot 5}{- x y}$

Schritt 4.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 4.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y \cdot 5}{- x y}$

Schritt 4.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5}{- x}$

Schritt 4.3.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{5}{x}$

Schritt 4.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{5}{x} d x}$

Schritt 5

Berechne das Integral $e^{\int - \frac{5}{x} d x}$ .

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Schritt 5.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{5}{x} d x}$

Schritt 5.2

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- (5 \int \frac{1}{x} d x)}$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 5 \int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 5.4

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 5 (\ln (| x |) + C)}$

Schritt 5.5

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{- 5 \ln (| x |)} + C$

Schritt 5.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.6.1

Vereinfache $- 5 \ln (| x |)$ , indem du $- 5$ in den Logarithmus ziehst.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 5})} + C$

Schritt 5.6.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 5} + C$

Schritt 5.6.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| x |}^{5}} + C$

Schritt 6

Multipliziere beide Seiten von $(4 x^{2} + 2 y^{2}) d x - (x y) d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $\frac{1}{x^{5}}$ .

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $4 x^{2} + 2 y^{2}$ mit $\frac{1}{x^{5}}$ .

$(4 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{1}{x^{5}} d x - (x y) d y = 0$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $4 x^{2} + 2 y^{2}$ mit $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{4 x^{2} + 2 y^{2}}{x^{5}} d x - (x y) d y = 0$

Schritt 6.3

Faktorisiere $2$ aus $4 x^{2} + 2 y^{2}$ heraus.

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Schritt 6.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$\frac{2 (2 x^{2}) + 2 y^{2}}{x^{5}} d x - (x y) d y = 0$

Schritt 6.3.2

Faktorisiere $2$ aus $2 y^{2}$ heraus.

$\frac{2 (2 x^{2}) + 2 (y^{2})}{x^{5}} d x - (x y) d y = 0$

Schritt 6.3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 x^{2}) + 2 (y^{2})$ heraus.

$\frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}} d x - (x y) d y = 0$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $- (x y)$ mit $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}} d x - (x y) \frac{1}{x^{5}} d y = 0$

Schritt 6.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 6.5.1

Faktorisiere $x$ aus $- (x y)$ heraus.

$\frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}} d x + x (- (y)) \frac{1}{x^{5}} d y = 0$

Schritt 6.5.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{5}$ heraus.

$\frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}} d x + x (- (y)) \frac{1}{x \cdot x^{4}} d y = 0$

Schritt 6.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}} d x + x (- (y)) \frac{1}{x \cdot x^{4}} d y = 0$

Schritt 6.5.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}} d x - (y) \frac{1}{x^{4}} d y = 0$

Schritt 6.6

Kombiniere $\frac{1}{x^{4}}$ und $y$ .

$\frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}} d x - \frac{y}{x^{4}} d y = 0$

Schritt 7

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - \frac{y}{x^{4}} d y$

Schritt 8

Integriere $N (x, y) = - \frac{y}{x^{4}}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 8.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$f (x, y) = - \int \frac{y}{x^{4}} d y$

Schritt 8.2

Da $\frac{1}{x^{4}}$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $\frac{1}{x^{4}}$ aus dem Integral.

$f (x, y) = - (\frac{1}{x^{4}} \int y d y)$

Schritt 8.3

Entferne die Klammern.

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{4}} \int y d y$

Schritt 8.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{4}} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Schritt 8.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.5.1

Schreibe $- \frac{1}{x^{4}} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ als $- \frac{1}{x^{4}} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C$ um.

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{4}} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C$

Schritt 8.5.2

Vereinfache.

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Schritt 8.5.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{x^{4}}$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{2 x^{4}} y^{2} + C$

Schritt 8.5.2.2

Kombiniere $y^{2}$ und $\frac{1}{2 x^{4}}$ .

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{2 x^{4}} + C$

Schritt 9

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{2 x^{4}} + g (x)$

Schritt 10

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

Schritt 11

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Schritt 11.1

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{2 x^{4}} + g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

Schritt 11.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- \frac{y^{2}}{2 x^{4}} + g (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{2 x^{4}}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{2 x^{4}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

Schritt 11.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{2 x^{4}}]$ .

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Schritt 11.3.1

Da $- \frac{y^{2}}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{y^{2}}{2 x^{4}}$ nach $x$ gleich $- \frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$- \frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

Schritt 11.3.2

Schreibe $\frac{1}{x^{4}}$ als ${(x^{4})}^{- 1}$ um.

$- \frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

Schritt 11.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{4}$ .

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Schritt 11.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{4}$ .

$- \frac{y^{2}}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

Schritt 11.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- \frac{y^{2}}{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

Schritt 11.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{4}$ .

$- \frac{y^{2}}{2} (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

Schritt 11.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$- \frac{y^{2}}{2} (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

Schritt 11.3.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{4})}^{- 2}$ .

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Schritt 11.3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{y^{2}}{2} (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

Schritt 11.3.5.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$- \frac{y^{2}}{2} (- x^{- 8} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

Schritt 11.3.6

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$- \frac{y^{2}}{2} (- 4 x^{- 8} x^{3}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

Schritt 11.3.7

Multipliziere $x^{- 8}$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 11.3.7.1

Bewege $x^{3}$ .

$- \frac{y^{2}}{2} (- 4 (x^{3} x^{- 8})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

Schritt 11.3.7.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{y^{2}}{2} (- 4 x^{3 - 8}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

Schritt 11.3.7.3

Subtrahiere $8$ von $3$ .

$- \frac{y^{2}}{2} (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

Schritt 11.3.8

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$4 \frac{y^{2}}{2} x^{- 5} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

Schritt 11.3.9

Kombiniere $4$ und $\frac{y^{2}}{2}$ .

$\frac{4 y^{2}}{2} x^{- 5} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

Schritt 11.3.10

Kombiniere $\frac{4 y^{2}}{2}$ und $x^{- 5}$ .

$\frac{4 y^{2} x^{- 5}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

Schritt 11.3.11

Bringe $x^{- 5}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4 y^{2}}{2 x^{5}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

Schritt 11.3.12

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 11.3.12.1

Faktorisiere $2$ aus $4 y^{2}$ heraus.

$\frac{2 (2 y^{2})}{2 x^{5}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

Schritt 11.3.12.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.3.12.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{5}$ heraus.

$\frac{2 (2 y^{2})}{2 (x^{5})} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

Schritt 11.3.12.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (2 y^{2})}{2 x^{5}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

Schritt 11.3.12.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 y^{2}}{x^{5}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

Schritt 11.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (x)$ $\frac{d g}{d x}$ ist.

$\frac{2 y^{2}}{x^{5}} + \frac{d g}{d x} = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

Schritt 11.5

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d x} + \frac{2 y^{2}}{x^{5}} = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

Schritt 12

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 12.1

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 12.1.1

Bringe alle Terme, die Variablen enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 12.1.1.1

Subtrahiere $\frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} + \frac{2 y^{2}}{x^{5}} - \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}} = 0$

Schritt 12.1.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d g}{d x} + \frac{2 y^{2} - 2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}} = 0$

Schritt 12.1.1.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d g}{d x} + \frac{2 y^{2} - 2 (2 x^{2}) - 2 y^{2}}{x^{5}} = 0$

Schritt 12.1.1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{2 y^{2} - 4 x^{2} - 2 y^{2}}{x^{5}} = 0$

Schritt 12.1.1.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 y^{2} - 4 x^{2} - 2 y^{2}$ .

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Schritt 12.1.1.4.1

Subtrahiere $2 y^{2}$ von $2 y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 4 x^{2} + 0}{x^{5}} = 0$

Schritt 12.1.1.4.2

Addiere $- 4 x^{2}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 4 x^{2}}{x^{5}} = 0$

Schritt 12.1.1.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x^{5}$ .

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Schritt 12.1.1.5.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 4 x^{2}$ heraus.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} \cdot - 4}{x^{5}} = 0$

Schritt 12.1.1.5.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.1.1.5.1.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{5}$ heraus.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} \cdot - 4}{x^{2} x^{3}} = 0$

Schritt 12.1.1.5.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} \cdot - 4}{x^{2} x^{3}} = 0$

Schritt 12.1.1.5.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 4}{x^{3}} = 0$

Schritt 12.1.1.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d g}{d x} - \frac{4}{x^{3}} = 0$

Schritt 12.1.2

Addiere $\frac{4}{x^{3}}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} = \frac{4}{x^{3}}$

Schritt 13

Bestimme die Stammfunktion von $\frac{4}{x^{3}}$ , um $g (x)$ zu finden.

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Schritt 13.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d x} = \frac{4}{x^{3}}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{4}{x^{3}} d x$

Schritt 13.2

Berechne $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \frac{4}{x^{3}} d x$

Schritt 13.3

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$g (x) = 4 \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Schritt 13.4

Bringe $x^{3}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$g (x) = 4 \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

Schritt 13.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 13.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (x) = 4 \int x^{3 \cdot - 1} d x$

Schritt 13.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$g (x) = 4 \int x^{- 3} d x$

Schritt 13.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 3}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$g (x) = 4 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

Schritt 13.7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 13.7.1

Vereinfache.

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Schritt 13.7.1.1

Kombiniere $x^{- 2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = 4 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C)$

Schritt 13.7.1.2

Bringe $x^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$g (x) = 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C)$

Schritt 13.7.2

Vereinfache.

$g (x) = 4 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C$

Schritt 13.7.3

Vereinfache.

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Schritt 13.7.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$g (x) = - 4 \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Schritt 13.7.3.2

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$g (x) = \frac{- 4}{2 x^{2}} + C$

Schritt 13.7.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $2$ .

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Schritt 13.7.3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$g (x) = \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{2}} + C$

Schritt 13.7.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.7.3.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$g (x) = \frac{2 \cdot - 2}{2 (x^{2})} + C$

Schritt 13.7.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$g (x) = \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{2}} + C$

Schritt 13.7.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$g (x) = \frac{- 2}{x^{2}} + C$

Schritt 13.7.3.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$g (x) = - \frac{2}{x^{2}} + C$

Schritt 14

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = - \frac{y^{2}}{2 x^{4}} + g (x)$ ein.

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{2 x^{4}} - \frac{2}{x^{2}} + C$