Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = 4 y^{3} \cos^{2} (x)$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} (4 y^{3} \cos^{2} (x))$

Schritt 1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{1}{y^{3}} (y^{3} \cos^{2} (x))$

Schritt 1.2.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{4}{y^{3}} (y^{3} \cos^{2} (x))$

Schritt 1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{3}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Faktorisiere $y^{3}$ aus $y^{3} \cos^{2} (x)$ heraus.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{4}{y^{3}} (y^{3} (\cos^{2} (x)))$

Schritt 1.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{4}{y^{3}} (y^{3} \cos^{2} (x))$

Schritt 1.2.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = 4 \cos^{2} (x)$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y^{3}} d y = 4 \cos^{2} (x) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y^{3}} d y = \int 4 \cos^{2} (x) d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.2.1.1

Bringe $y^{3}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int {(y^{3})}^{- 1} d y = \int 4 \cos^{2} (x) d x$

Schritt 2.2.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{3 \cdot - 1} d y = \int 4 \cos^{2} (x) d x$

Schritt 2.2.1.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\int y^{- 3} d y = \int 4 \cos^{2} (x) d x$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{- 3}$ nach $y$ gleich $- \frac{1}{2} y^{- 2}$ .

$- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1} = \int 4 \cos^{2} (x) d x$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.2.3.1

Schreibe $- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1}$ als $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C_{1}$ um.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C_{1} = \int 4 \cos^{2} (x) d x$

Schritt 2.2.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{y^{2}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y^{2} \cdot 2} + C_{1} = \int 4 \cos^{2} (x) d x$

Schritt 2.2.3.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \int 4 \cos^{2} (x) d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 4 \int \cos^{2} (x) d x$

Schritt 2.3.2

Benutze die Halbwinkelformel, um $\cos^{2} (x)$ als $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ neu zu schreiben.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 4 \int \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

Schritt 2.3.3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 x) d x)$

Schritt 2.3.4

Vereinfache.

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Schritt 2.3.4.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \frac{4}{2} \int 1 + \cos (2 x) d x$

Schritt 2.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 2.3.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2} \int 1 + \cos (2 x) d x$

Schritt 2.3.4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.4.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int 1 + \cos (2 x) d x$

Schritt 2.3.4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int 1 + \cos (2 x) d x$

Schritt 2.3.4.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \frac{2}{1} \int 1 + \cos (2 x) d x$

Schritt 2.3.4.2.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 \int 1 + \cos (2 x) d x$

Schritt 2.3.5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 (\int d x + \int \cos (2 x) d x)$

Schritt 2.3.6

Wende die Konstantenregel an.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 (x + C_{2} + \int \cos (2 x) d x)$

Schritt 2.3.7

Sei $u = 2 x$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.7.1

Es sei $u = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.3.7.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2.3.7.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.7.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 2.3.7.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 2.3.7.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 (x + C_{2} + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Schritt 2.3.8

Kombiniere $\cos (u)$ und $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 (x + C_{2} + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Schritt 2.3.9

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 (x + C_{2} + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Schritt 2.3.10

Das Integral von $\cos (u)$ nach $u$ ist $\sin (u)$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 (x + C_{2} + \frac{1}{2} (\sin (u) + C_{3}))$

Schritt 2.3.11

Vereinfache.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 (x + \frac{1}{2} \sin (u)) + C_{4}$

Schritt 2.3.12

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C_{4}$

Schritt 2.3.13

Vereinfache.

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Schritt 2.3.13.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sin (2 x)$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 (x + \frac{\sin (2 x)}{2}) + C_{4}$

Schritt 2.3.13.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 x + 2 \frac{\sin (2 x)}{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.13.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.13.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 x + 2 \frac{\sin (2 x)}{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.13.3.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 x + \sin (2 x) + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$- \frac{1}{2 y^{2}} = 2 x + \sin (2 x) + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$2 y^{2}, 1, 1, 1$

Schritt 3.1.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$2 y^{2}$

Schritt 3.2

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{2 y^{2}} = 2 x + \sin (2 x) + K$ mit $2 y^{2}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.2.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{2 y^{2}} = 2 x + \sin (2 x) + K$ mit $2 y^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = 2 x (2 y^{2}) + \sin (2 x) (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 y^{2}$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2 y^{2}}$ in den Zähler.

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = 2 x (2 y^{2}) + \sin (2 x) (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Schritt 3.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = 2 x (2 y^{2}) + \sin (2 x) (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Schritt 3.2.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- 1 = 2 x (2 y^{2}) + \sin (2 x) (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 1 = 2 \cdot 2 x y^{2} + \sin (2 x) (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Schritt 3.2.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- 1 = 4 x y^{2} + \sin (2 x) (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Schritt 3.2.3.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 1 = 4 x y^{2} + 2 \sin (2 x) y^{2} + K (2 y^{2})$

Schritt 3.2.3.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 1 = 4 x y^{2} + 2 \sin (2 x) y^{2} + 2 K y^{2}$

Schritt 3.2.3.2

Stelle die Faktoren in $4 x y^{2} + 2 \sin (2 x) y^{2} + 2 K y^{2}$ um.

$- 1 = 4 x y^{2} + 2 y^{2} \sin (2 x) + 2 K y^{2}$

Schritt 3.3

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Schreibe die Gleichung als $4 x y^{2} + 2 y^{2} \sin (2 x) + 2 K y^{2} = - 1$ um.

$4 x y^{2} + 2 y^{2} \sin (2 x) + 2 K y^{2} = - 1$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere $2 y^{2}$ aus $4 x y^{2} + 2 y^{2} \sin (2 x) + 2 K y^{2}$ heraus.

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Schritt 3.3.2.1

Faktorisiere $2 y^{2}$ aus $4 x y^{2}$ heraus.

$2 y^{2} (2 x) + 2 y^{2} \sin (2 x) + 2 K y^{2} = - 1$

Schritt 3.3.2.2

Faktorisiere $2 y^{2}$ aus $2 y^{2} \sin (2 x)$ heraus.

$2 y^{2} (2 x) + 2 y^{2} \sin (2 x) + 2 K y^{2} = - 1$

Schritt 3.3.2.3

Faktorisiere $2 y^{2}$ aus $2 K y^{2}$ heraus.

$2 y^{2} (2 x) + 2 y^{2} \sin (2 x) + 2 y^{2} K = - 1$

Schritt 3.3.2.4

Faktorisiere $2 y^{2}$ aus $2 y^{2} (2 x) + 2 y^{2} \sin (2 x)$ heraus.

$2 y^{2} (2 x + \sin (2 x)) + 2 y^{2} K = - 1$

Schritt 3.3.2.5

Faktorisiere $2 y^{2}$ aus $2 y^{2} (2 x + \sin (2 x)) + 2 y^{2} K$ heraus.

$2 y^{2} (2 x + \sin (2 x) + K) = - 1$

Schritt 3.3.3

Teile jeden Ausdruck in $2 y^{2} (2 x + \sin (2 x) + K) = - 1$ durch $2 (2 x + \sin (2 x) + K)$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y^{2} (2 x + \sin (2 x) + K) = - 1$ durch $2 (2 x + \sin (2 x) + K)$ .

$\frac{2 y^{2} (2 x + \sin (2 x) + K)}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)} = \frac{- 1}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)}$

Schritt 3.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y^{2} (2 x + \sin (2 x) + K)}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)} = \frac{- 1}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)}$

Schritt 3.3.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y^{2} (2 x + \sin (2 x) + K)}{2 x + \sin (2 x) + K} = \frac{- 1}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)}$

Schritt 3.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 x + \sin (2 x) + K$ .

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Schritt 3.3.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{2} (2 x + \sin (2 x) + K)}{2 x + \sin (2 x) + K} = \frac{- 1}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)}$

Schritt 3.3.3.2.2.2

Dividiere $y^{2}$ durch $1$ .

$y^{2} = \frac{- 1}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)}$

Schritt 3.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y^{2} = - \frac{1}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)}$

Schritt 3.3.4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{- \frac{1}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)}}$

Schritt 3.3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.3.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \sqrt{- \frac{1}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)}}$

Schritt 3.3.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \sqrt{- \frac{1}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)}}$

Schritt 3.3.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \sqrt{- \frac{1}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)}}$

$y = - \sqrt{- \frac{1}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)}}$

$y = \sqrt{- \frac{1}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)}}$

$y = - \sqrt{- \frac{1}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)}}$

$y = \sqrt{- \frac{1}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)}}$

$y = - \sqrt{- \frac{1}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)}}$

$y = \sqrt{- \frac{1}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)}}$

$y = - \sqrt{- \frac{1}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)}}$