Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y)}{(1 - x)}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{1 - y}$ .

$\frac{1}{1 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - y} \cdot \frac{1 - y}{1 - x}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - y$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{1 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - y} \cdot \frac{1 - y}{1 - x}$

Schritt 1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{1 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - x}$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{1 - y} d y = \frac{1}{1 - x} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{1 - y} d y = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Sei $u_{1} = 1 - y$ . Dann ist $d u_{1} = - d y$ , folglich $- d u_{1} = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Es sei $u_{1} = 1 - y$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Forme um.

$\frac{- 1}{1}$

Schritt 2.2.1.1.2

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$- 1$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int \frac{- 1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Schritt 2.2.2

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

$\int - \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Schritt 2.2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Schritt 2.2.4

Das Integral von $\frac{1}{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $\ln (| u_{1} |)$ .

$- (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Schritt 2.2.5

Vereinfache.

$- \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Schritt 2.2.6

Ersetze alle $u_{1}$ durch $1 - y$ .

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Sei $u_{2} = 1 - x$ . Dann ist $d u_{2} = - d x$ , folglich $- d u_{2} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Es sei $u_{2} = 1 - x$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Forme um.

$\frac{- 1}{1}$

Schritt 2.3.1.1.2

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$- 1$

Schritt 2.3.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = \int \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.2

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.4

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = - (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = - \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Schritt 2.3.6

Ersetze alle $u_{2}$ durch $1 - x$ .

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = - \ln (| 1 - x |) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$- \ln (| 1 - y |) = - \ln (| 1 - x |) + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$- \ln (| 1 - y |) + \ln (| 1 - x |) = C$

Schritt 3.2

Subtrahiere $\ln (| 1 - x |)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \ln (| 1 - y |) = C - \ln (| 1 - x |)$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $- \ln (| 1 - y |) = C - \ln (| 1 - x |)$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- \ln (| 1 - y |) = C - \ln (| 1 - x |)$ durch $- 1$ .

$\frac{- \ln (| 1 - y |)}{- 1} = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (| 1 - x |)}{- 1}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\ln (| 1 - y |)}{1} = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (| 1 - x |)}{- 1}$

Schritt 3.3.2.2

Dividiere $\ln (| 1 - y |)$ durch $1$ .

$\ln (| 1 - y |) = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (| 1 - x |)}{- 1}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| 1 - y |) = - 1 \cdot C + \frac{- \ln (| 1 - x |)}{- 1}$

Schritt 3.3.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot C$ als $- C$ um.

$\ln (| 1 - y |) = - C + \frac{- \ln (| 1 - x |)}{- 1}$

Schritt 3.3.3.1.3

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\ln (| 1 - y |) = - C + \frac{\ln (| 1 - x |)}{1}$

Schritt 3.3.3.1.4

Dividiere $\ln (| 1 - x |)$ durch $1$ .

$\ln (| 1 - y |) = - C + \ln (| 1 - x |)$

Schritt 3.4

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| 1 - y |) - \ln (| 1 - x |) = - C$

Schritt 3.5

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 1 - y |}{| 1 - x |}) = - C$

Schritt 3.6

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (\frac{| 1 - y |}{| 1 - x |})} = e^{- C}$

Schritt 3.7

Schreibe $\ln (\frac{| 1 - y |}{| 1 - x |}) = - C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{- C} = \frac{| 1 - y |}{| 1 - x |}$

Schritt 3.8

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.8.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{| 1 - y |}{| 1 - x |} = e^{- C}$ um.

$\frac{| 1 - y |}{| 1 - x |} = e^{- C}$

Schritt 3.8.2

Multipliziere beide Seiten mit $| 1 - x |$ .

$\frac{| 1 - y |}{| 1 - x |} | 1 - x | = e^{- C} | 1 - x |$

Schritt 3.8.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.8.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $| 1 - x |$ .

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Schritt 3.8.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{| 1 - y |}{| 1 - x |} | 1 - x | = e^{- C} | 1 - x |$

Schritt 3.8.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$| 1 - y | = e^{- C} | 1 - x |$

Schritt 3.8.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.8.4.1

Stelle die Faktoren in $e^{- C} | 1 - x |$ um.

$| 1 - y | = | 1 - x | e^{- C}$

Schritt 3.8.4.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$1 - y = \pm | 1 - x | e^{- C}$

Schritt 3.8.4.3

Stelle die Faktoren in $\pm | 1 - x | e^{- C}$ um.

$1 - y = \pm e^{- C} | 1 - x |$

Schritt 3.8.4.4

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y = \pm e^{- C} | 1 - x | - 1$

Schritt 3.8.4.5

Teile jeden Ausdruck in $- y = \pm e^{- C} | 1 - x | - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.8.4.5.1

Teile jeden Ausdruck in $- y = \pm e^{- C} | 1 - x | - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\pm e^{- C} | 1 - x |}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 3.8.4.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.8.4.5.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y}{1} = \frac{\pm e^{- C} | 1 - x |}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 3.8.4.5.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\pm e^{- C} | 1 - x |}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 3.8.4.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.8.4.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.8.4.5.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\pm e^{- C} | 1 - x |}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (\pm e^{- C} | 1 - x |) + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 3.8.4.5.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot (\pm e^{- C} | 1 - x |)$ als $- (\pm e^{- C} | 1 - x |)$ um.

$y = - (\pm e^{- C} | 1 - x |) + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 3.8.4.5.3.1.3

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$y = - (\pm e^{- C} | 1 - x |) + 1$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 4.1

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = - (\pm C | 1 - x |) + 1$

Schritt 4.2

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = - (C | 1 - x |) + 1$