Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{x^{2}} - \frac{3}{x^{4}} + 12$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = (- \frac{1}{x^{2}} - \frac{3}{x^{4}} + 12) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int - \frac{1}{x^{2}} - \frac{3}{x^{4}} + 12 d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int - \frac{1}{x^{2}} - \frac{3}{x^{4}} + 12 d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{1} = \int - \frac{1}{x^{2}} d x + \int - \frac{3}{x^{4}} d x + \int 12 d x$

Schritt 2.3.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = - \int \frac{1}{x^{2}} d x + \int - \frac{3}{x^{4}} d x + \int 12 d x$

Schritt 2.3.3

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.3.3.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$y + C_{1} = - \int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int - \frac{3}{x^{4}} d x + \int 12 d x$

Schritt 2.3.3.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.3.3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = - \int x^{2 \cdot - 1} d x + \int - \frac{3}{x^{4}} d x + \int 12 d x$

Schritt 2.3.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y + C_{1} = - \int x^{- 2} d x + \int - \frac{3}{x^{4}} d x + \int 12 d x$

Schritt 2.3.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$y + C_{1} = - (- x^{- 1} + C_{2}) + \int - \frac{3}{x^{4}} d x + \int 12 d x$

Schritt 2.3.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = - (- x^{- 1} + C_{2}) - \int \frac{3}{x^{4}} d x + \int 12 d x$

Schritt 2.3.6

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = - (- x^{- 1} + C_{2}) - (3 \int \frac{1}{x^{4}} d x) + \int 12 d x$

Schritt 2.3.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.7.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$y + C_{1} = - (- x^{- 1} + C_{2}) - 3 \int \frac{1}{x^{4}} d x + \int 12 d x$

Schritt 2.3.7.2

Bringe $x^{4}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$y + C_{1} = - (- x^{- 1} + C_{2}) - 3 \int {(x^{4})}^{- 1} d x + \int 12 d x$

Schritt 2.3.7.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{4})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.3.7.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = - (- x^{- 1} + C_{2}) - 3 \int x^{4 \cdot - 1} d x + \int 12 d x$

Schritt 2.3.7.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$y + C_{1} = - (- x^{- 1} + C_{2}) - 3 \int x^{- 4} d x + \int 12 d x$

Schritt 2.3.8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 4}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$y + C_{1} = - (- x^{- 1} + C_{2}) - 3 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C_{3}) + \int 12 d x$

Schritt 2.3.9

Vereinfache.

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Schritt 2.3.9.1

Kombiniere $x^{- 3}$ und $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = - (- x^{- 1} + C_{2}) - 3 (- \frac{x^{- 3}}{3} + C_{3}) + \int 12 d x$

Schritt 2.3.9.2

Bringe $x^{- 3}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y + C_{1} = - (- x^{- 1} + C_{2}) - 3 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C_{3}) + \int 12 d x$

Schritt 2.3.10

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = - (- x^{- 1} + C_{2}) - 3 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C_{3}) + 12 x + C_{4}$

Schritt 2.3.11

Vereinfache.

$y + C_{1} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}} + 12 x + C_{5}$

Schritt 2.3.12

Stelle die Terme um.

$y + C_{1} = 12 x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}} + C_{5}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = 12 x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}} + K$