Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d t} = 8 t + 6 t^{2}$ , $y (1) = 2$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = (8 t + 6 t^{2}) d t$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int 8 t + 6 t^{2} d t$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int 8 t + 6 t^{2} d t$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{1} = \int 8 t d t + \int 6 t^{2} d t$

Schritt 2.3.2

Da $8$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $8$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 8 \int t d t + \int 6 t^{2} d t$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t$ nach $t$ gleich $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$y + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int 6 t^{2} d t$

Schritt 2.3.4

Da $6$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + 6 \int t^{2} d t$

Schritt 2.3.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t^{2}$ nach $t$ gleich $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$y + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + 6 (\frac{1}{3} t^{3} + C_{3})$

Schritt 2.3.6

Vereinfache.

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Schritt 2.3.6.1

Vereinfache.

$y + C_{1} = 8 (\frac{1}{2}) t^{2} + 6 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.6.2.1

Kombiniere $8$ und $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{8}{2} t^{2} + 6 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $2$ .

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Schritt 2.3.6.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2} t^{2} + 6 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.6.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 (1)} t^{2} + 6 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} t^{2} + 6 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y + C_{1} = \frac{4}{1} t^{2} + 6 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.2.2.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$y + C_{1} = 4 t^{2} + 6 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.3

Kombiniere $6$ und $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = 4 t^{2} + \frac{6}{3} t^{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $3$ .

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Schritt 2.3.6.2.4.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$y + C_{1} = 4 t^{2} + \frac{3 \cdot 2}{3} t^{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.6.2.4.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$y + C_{1} = 4 t^{2} + \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} t^{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + C_{1} = 4 t^{2} + \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} t^{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y + C_{1} = 4 t^{2} + \frac{2}{1} t^{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.4.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$y + C_{1} = 4 t^{2} + 2 t^{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.7

Stelle die Terme um.

$y + C_{1} = 2 t^{3} + 4 t^{2} + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = 2 t^{3} + 4 t^{2} + K$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $1$ für $t$ und $2$ für $y$ in $y = 2 t^{3} + 4 t^{2} + K$ ersetzt wird.

$2 = 2 \cdot 1^{3} + 4 \cdot 1^{2} + K$

Schritt 4

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $2 \cdot 1^{3} + 4 \cdot 1^{2} + K = 2$ um.

$2 \cdot 1^{3} + 4 \cdot 1^{2} + K = 2$

Schritt 4.2

Vereinfache $2 \cdot 1^{3} + 4 \cdot 1^{2} + K$ .

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$2 \cdot 1 + 4 \cdot 1^{2} + K = 2$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + 4 \cdot 1^{2} + K = 2$

Schritt 4.2.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$2 + 4 \cdot 1 + K = 2$

Schritt 4.2.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$2 + 4 + K = 2$

Schritt 4.2.2

Addiere $2$ und $4$ .

$6 + K = 2$

Schritt 4.3

Bringe alle Terme, die nicht $K$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$K = 2 - 6$

Schritt 4.3.2

Subtrahiere $6$ von $2$ .

$K = - 4$

Schritt 5

Setze $- 4$ für $K$ in $y = 2 t^{3} + 4 t^{2} + K$ ein und vereinfache.

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Schritt 5.1

Ersetze $K$ durch $- 4$ .

$y = 2 t^{3} + 4 t^{2} - 4$