Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{12}{{(2 + 3 x)}^{2} e^{2 y}}$ , $y (- 2) = 0$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d y}{d x} = \frac{12}{{(2 + 3 x)}^{2}} \cdot \frac{1}{e^{2 y}}$

Schritt 1.2

Multipliziere beide Seiten mit $e^{2 y}$ .

$e^{2 y} \frac{d y}{d x} = e^{2 y} (\frac{12}{{(2 + 3 x)}^{2}} \cdot \frac{1}{e^{2 y}})$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Kombinieren.

$e^{2 y} \frac{d y}{d x} = e^{2 y} \frac{12 \cdot 1}{{(2 + 3 x)}^{2} e^{2 y}}$

Schritt 1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{2 y}$ .

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Schritt 1.3.2.1

Faktorisiere $e^{2 y}$ aus ${(2 + 3 x)}^{2} e^{2 y}$ heraus.

$e^{2 y} \frac{d y}{d x} = e^{2 y} \frac{12 \cdot 1}{e^{2 y} {(2 + 3 x)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{2 y} \frac{d y}{d x} = e^{2 y} \frac{12 \cdot 1}{e^{2 y} {(2 + 3 x)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e^{2 y} \frac{d y}{d x} = \frac{12 \cdot 1}{{(2 + 3 x)}^{2}}$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $12$ mit $1$ .

$e^{2 y} \frac{d y}{d x} = \frac{12}{{(2 + 3 x)}^{2}}$

Schritt 1.4

Schreibe die Gleichung um.

$e^{2 y} d y = \frac{12}{{(2 + 3 x)}^{2}} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int e^{2 y} d y = \int \frac{12}{{(2 + 3 x)}^{2}} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Sei $u_{1} = 2 y$ . Dann ist $d u_{1} = 2 d y$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{1} = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Es sei $u_{1} = 2 y$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Differenziere $2 y$ .

$\frac{d}{d y} [2 y]$

Schritt 2.2.1.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 y$ nach $y$ gleich $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.2.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 2.2.1.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1} = \int \frac{12}{{(2 + 3 x)}^{2}} d x$

Schritt 2.2.2

Kombiniere $e^{u_{1}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} = \int \frac{12}{{(2 + 3 x)}^{2}} d x$

Schritt 2.2.3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{12}{{(2 + 3 x)}^{2}} d x$

Schritt 2.2.4

Das Integral von $e^{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $e^{u_{1}}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{1}) = \int \frac{12}{{(2 + 3 x)}^{2}} d x$

Schritt 2.2.5

Vereinfache.

$\frac{1}{2} e^{u_{1}} + C_{1} = \int \frac{12}{{(2 + 3 x)}^{2}} d x$

Schritt 2.2.6

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 y$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \int \frac{12}{{(2 + 3 x)}^{2}} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $12$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = 12 \int \frac{1}{{(2 + 3 x)}^{2}} d x$

Schritt 2.3.2

Sei $u_{2} = 2 + 3 x$ . Dann ist $d u_{2} = 3 d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u_{2} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 2.3.2.1

Es sei $u_{2} = 2 + 3 x$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Differenziere $2 + 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 + 3 x]$

Schritt 2.3.2.1.2

Differenziere.

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Schritt 2.3.2.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 + 3 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 2.3.2.1.2.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 2.3.2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Schritt 2.3.2.1.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 3 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + 3 \cdot 1$

Schritt 2.3.2.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$0 + 3$

Schritt 2.3.2.1.4

Addiere $0$ und $3$ .

$3$

Schritt 2.3.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = 12 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} \cdot \frac{1}{3} d u_{2}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{{u_{2}}^{2}}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = 12 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2} \cdot 3} d u_{2}$

Schritt 2.3.3.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = 12 \int \frac{1}{3 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.4

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = 12 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2})$

Schritt 2.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.5.1

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $12$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \frac{12}{3} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.5.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $3$ .

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Schritt 2.3.5.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.5.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.5.1.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3 (1)} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.5.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 1} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.5.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \frac{4}{1} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.5.1.2.2.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = 4 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.5.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.3.5.2.1

Bringe ${u_{2}}^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = 4 \int {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

Schritt 2.3.5.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.3.5.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = 4 \int {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

Schritt 2.3.5.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = 4 \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Schritt 2.3.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{2}}^{- 2}$ nach $u_{2}$ gleich $- {u_{2}}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = 4 (- {u_{2}}^{- 1} + C_{2})$

Schritt 2.3.7

Vereinfache.

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Schritt 2.3.7.1

Schreibe $4 (- {u_{2}}^{- 1} + C_{2})$ als $4 (- \frac{1}{u_{2}}) + C_{2}$ um.

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = 4 (- \frac{1}{u_{2}}) + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.7.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = - 4 \frac{1}{u_{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2.2

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \frac{- 4}{u_{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = - \frac{4}{u_{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.8

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 + 3 x$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = - \frac{4}{2 + 3 x} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{2} e^{2 y} = - \frac{4}{2 + 3 x} + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 (\frac{1}{2} e^{2 y}) = 2 (- \frac{4}{2 + 3 x} + K)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{2} e^{2 y})$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{2 y}$ .

$2 \frac{e^{2 y}}{2} = 2 (- \frac{4}{2 + 3 x} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{e^{2 y}}{2} = 2 (- \frac{4}{2 + 3 x} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{2 y} = 2 (- \frac{4}{2 + 3 x} + K)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $2 (- \frac{4}{2 + 3 x} + K)$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Um $K$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 + 3 x}{2 + 3 x}$ .

$e^{2 y} = 2 (- \frac{4}{2 + 3 x} + \frac{K (2 + 3 x)}{2 + 3 x})$

Schritt 3.2.2.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e^{2 y} = 2 \frac{- 4 + K (2 + 3 x)}{2 + 3 x}$

Schritt 3.2.2.1.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.2.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{2 y} = 2 \frac{- 4 + K \cdot 2 + K (3 x)}{2 + 3 x}$

Schritt 3.2.2.1.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $K$ .

$e^{2 y} = 2 \frac{- 4 + 2 \cdot K + K (3 x)}{2 + 3 x}$

Schritt 3.2.2.1.3.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{2 y} = 2 \frac{- 4 + 2 K + 3 K x}{2 + 3 x}$

Schritt 3.2.2.1.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.2.2.1.4.1

Kombiniere $2$ und $\frac{- 4 + 2 K + 3 K x}{2 + 3 x}$ .

$e^{2 y} = \frac{2 (- 4 + 2 K + 3 K x)}{2 + 3 x}$

Schritt 3.2.2.1.4.2

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$e^{2 y} = \frac{2 (- 1 (4) + 2 K + 3 K x)}{2 + 3 x}$

Schritt 3.2.2.1.4.3

Faktorisiere $- 1$ aus $2 K$ heraus.

$e^{2 y} = \frac{2 (- 1 (4) - (- 2 K) + 3 K x)}{2 + 3 x}$

Schritt 3.2.2.1.4.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (4) - (- 2 K)$ heraus.

$e^{2 y} = \frac{2 (- 1 (4 - 2 K) + 3 K x)}{2 + 3 x}$

Schritt 3.2.2.1.4.5

Faktorisiere $- 1$ aus $3 K x$ heraus.

$e^{2 y} = \frac{2 (- 1 (4 - 2 K) - (- 3 K x))}{2 + 3 x}$

Schritt 3.2.2.1.4.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (4 - 2 K) - (- 3 K x)$ heraus.

$e^{2 y} = \frac{2 (- 1 (4 - 2 K - 3 K x))}{2 + 3 x}$

Schritt 3.2.2.1.4.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e^{2 y} = - \frac{2 (4 - 2 K - 3 K x)}{2 + 3 x}$

Schritt 3.3

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{2 y}) = \ln (- \frac{2 (4 - 2 K - 3 K x)}{2 + 3 x})$

Schritt 3.4

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 3.4.1

Zerlege $\ln (e^{2 y})$ durch Herausziehen von $2 y$ aus dem Logarithmus.

$2 y \ln (e) = \ln (- \frac{2 (4 - 2 K - 3 K x)}{2 + 3 x})$

Schritt 3.4.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$2 y \cdot 1 = \ln (- \frac{2 (4 - 2 K - 3 K x)}{2 + 3 x})$

Schritt 3.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 y = \ln (- \frac{2 (4 - 2 K - 3 K x)}{2 + 3 x})$

Schritt 3.5

Teile jeden Ausdruck in $2 y = \ln (- \frac{2 (4 - 2 K - 3 K x)}{2 + 3 x})$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y = \ln (- \frac{2 (4 - 2 K - 3 K x)}{2 + 3 x})$ durch $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (- \frac{2 (4 - 2 K - 3 K x)}{2 + 3 x})}{2}$

Schritt 3.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (- \frac{2 (4 - 2 K - 3 K x)}{2 + 3 x})}{2}$

Schritt 3.5.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\ln (- \frac{2 (4 - 2 K - 3 K x)}{2 + 3 x})}{2}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{\ln (- \frac{2 (K + K x)}{2 + 3 x})}{2}$

Schritt 5

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $- 2$ für $x$ und $0$ für $y$ in $y = \frac{\ln (- \frac{2 (K + K x)}{2 + 3 x})}{2}$ ersetzt wird.

$0 = \frac{\ln (- \frac{2 (K + K \cdot - 2)}{2 + 3 \cdot - 2})}{2}$

Schritt 6

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 6.1

Setze den Zähler gleich Null.

$\ln (- \frac{2 (K + K \cdot - 2)}{2 + 3 \cdot - 2}) = 0$

Schritt 6.2

Löse die Gleichung nach $K$ auf.

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Schritt 6.2.1

Um nach $K$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (- \frac{2 (K + K \cdot - 2)}{2 + 3 \cdot - 2})} = e^{0}$

Schritt 6.2.2

Schreibe $\ln (- \frac{2 (K + K \cdot - 2)}{2 + 3 \cdot - 2}) = 0$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{0} = - \frac{2 (K + K \cdot - 2)}{2 + 3 \cdot - 2}$

Schritt 6.2.3

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 6.2.3.1

Schreibe die Gleichung als $- \frac{2 (K + K \cdot - 2)}{2 + 3 \cdot - 2} = e^{0}$ um.

$- \frac{2 (K + K \cdot - 2)}{2 + 3 \cdot - 2} = e^{0}$

Schritt 6.2.3.2

Teile jeden Ausdruck in $- \frac{2 (K + K \cdot - 2)}{2 + 3 \cdot - 2} = e^{0}$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- \frac{2 (K + K \cdot - 2)}{2 + 3 \cdot - 2} = e^{0}$ durch $- 1$ .

$\frac{- \frac{2 (K + K \cdot - 2)}{2 + 3 \cdot - 2}}{- 1} = \frac{e^{0}}{- 1}$

Schritt 6.2.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.3.2.2.1

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.3.2.2.1.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\frac{2 (K + K \cdot - 2)}{2 + 3 \cdot - 2}}{1} = \frac{e^{0}}{- 1}$

Schritt 6.2.3.2.2.1.2

Dividiere $\frac{2 (K + K \cdot - 2)}{2 + 3 \cdot - 2}$ durch $1$ .

$\frac{2 (K + K \cdot - 2)}{2 + 3 \cdot - 2} = \frac{e^{0}}{- 1}$

Schritt 6.2.3.2.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $2 + 3 \cdot - 2$ .

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Schritt 6.2.3.2.2.1.3.1

Stelle die Terme um.

$\frac{2 (K + K \cdot - 2)}{2 - 2 \cdot 3} = \frac{e^{0}}{- 1}$

Schritt 6.2.3.2.2.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.3.2.2.1.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (K + K \cdot - 2)}{2 (1) - 2 \cdot 3} = \frac{e^{0}}{- 1}$

Schritt 6.2.3.2.2.1.3.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 \cdot 3$ heraus.

$\frac{2 (K + K \cdot - 2)}{2 (1) + 2 (- 1 \cdot 3)} = \frac{e^{0}}{- 1}$

Schritt 6.2.3.2.2.1.3.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (1) + 2 (- 1 \cdot 3)$ heraus.

$\frac{2 (K + K \cdot - 2)}{2 (1 - 1 \cdot 3)} = \frac{e^{0}}{- 1}$

Schritt 6.2.3.2.2.1.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (K + K \cdot - 2)}{2 (1 - 1 \cdot 3)} = \frac{e^{0}}{- 1}$

Schritt 6.2.3.2.2.1.3.2.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{K + K \cdot - 2}{1 - 1 \cdot 3} = \frac{e^{0}}{- 1}$

Schritt 6.2.3.2.2.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.3.2.2.2.1

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $K$ .

$\frac{K - 2 \cdot K}{1 - 1 \cdot 3} = \frac{e^{0}}{- 1}$

Schritt 6.2.3.2.2.2.2

Subtrahiere $2 K$ von $K$ .

$\frac{- K}{1 - 1 \cdot 3} = \frac{e^{0}}{- 1}$

Schritt 6.2.3.2.2.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.3.2.2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{- K}{1 - 3} = \frac{e^{0}}{- 1}$

Schritt 6.2.3.2.2.3.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$\frac{- K}{- 2} = \frac{e^{0}}{- 1}$

Schritt 6.2.3.2.2.4

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{K}{2} = \frac{e^{0}}{- 1}$

Schritt 6.2.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.3.2.3.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{e^{0}}{- 1}$ .

$\frac{K}{2} = - 1 \cdot e^{0}$

Schritt 6.2.3.2.3.2

Schreibe $- 1 \cdot e^{0}$ als $- e^{0}$ um.

$\frac{K}{2} = - e^{0}$

Schritt 6.2.3.2.3.3

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{K}{2} = - 1 \cdot 1$

Schritt 6.2.3.2.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{K}{2} = - 1$

Schritt 6.2.3.3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{K}{2} = 2 \cdot - 1$

Schritt 6.2.3.4

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 6.2.3.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.3.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.3.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{K}{2} = 2 \cdot - 1$

Schritt 6.2.3.4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$K = 2 \cdot - 1$

Schritt 6.2.3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.3.4.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$K = - 2$

Schritt 7

Setze $- 2$ für $K$ in $y = \frac{\ln (- \frac{2 (K + K x)}{2 + 3 x})}{2}$ ein und vereinfache.

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Schritt 7.1

Ersetze $K$ durch $- 2$ .

$y = \frac{\ln (- \frac{2 (- 2 + K x)}{2 + 3 x})}{2}$

Schritt 7.2

Schreibe $\frac{\ln (- \frac{2 (- 2 + K x)}{2 + 3 x})}{2}$ als $\frac{1}{2} \ln (- \frac{2 (- 2 + K x)}{2 + 3 x})$ um.

$y = \frac{1}{2} \ln (- \frac{2 (- 2 + K x)}{2 + 3 x})$

Schritt 7.3

Vereinfache $\frac{1}{2} \ln (- \frac{2 (- 2 + K x)}{2 + 3 x})$ , indem du $\frac{1}{2}$ in den Logarithmus ziehst.

$y = \ln ({(- \frac{2 (- 2 + K x)}{2 + 3 x})}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 7.4

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 7.4.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{2 (- 2 + K x)}{2 + 3 x}$ an.

$y = \ln ({(- 1)}^{\frac{1}{2}} {(\frac{2 (- 2 + K x)}{2 + 3 x})}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 7.4.2

Wende die Produktregel auf $\frac{2 (- 2 + K x)}{2 + 3 x}$ an.

$y = \ln ({(- 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{{(2 (- 2 + K x))}^{\frac{1}{2}}}{{(2 + 3 x)}^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 7.4.3

Wende die Produktregel auf $2 (- 2 + K x)$ an.

$y = \ln ({(- 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{2^{\frac{1}{2}} {(- 2 + K x)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 + 3 x)}^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 7.5

Schreibe ${(- 1)}^{\frac{1}{2}}$ als $\sqrt{{(- 1)}^{1}}$ um.

$y = \ln (\sqrt{{(- 1)}^{1}} \frac{2^{\frac{1}{2}} {(- 2 + K x)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 + 3 x)}^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 7.6

Berechne den Exponenten.

$y = \ln (\sqrt{- 1} \frac{2^{\frac{1}{2}} {(- 2 + K x)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 + 3 x)}^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 7.7

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$y = \ln (i \frac{2^{\frac{1}{2}} {(- 2 + K x)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 + 3 x)}^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 7.8

Kombiniere $i$ und $\frac{2^{\frac{1}{2}} {(- 2 + K x)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$y = \ln (\frac{i \cdot 2^{\frac{1}{2}} {(- 2 + K x)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 + 3 x)}^{\frac{1}{2}}})$