Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = 7 x \sqrt{2 y + 20}$ , $y (0) = 5$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} (7 x \sqrt{2 y + 20})$

Schritt 1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} (x \sqrt{2 y + 20})$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $2$ aus $2 y + 20$ heraus.

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Schritt 1.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 y$ heraus.

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{1}{\sqrt{2 (y) + 20}} (x \sqrt{2 y + 20})$

Schritt 1.2.2.2

Faktorisiere $2$ aus $20$ heraus.

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{1}{\sqrt{2 y + 2 \cdot 10}} (x \sqrt{2 y + 20})$

Schritt 1.2.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 y + 2 \cdot 10$ heraus.

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{1}{\sqrt{2 (y + 10)}} (x \sqrt{2 y + 20})$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2 (y + 10)}}$ mit $\frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{\sqrt{2 (y + 10)}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 (\frac{1}{\sqrt{2 (y + 10)}} \cdot \frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{\sqrt{2 (y + 10)}}) (x \sqrt{2 y + 20})$

Schritt 1.2.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2 (y + 10)}}$ mit $\frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{\sqrt{2 (y + 10)}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{\sqrt{2 (y + 10)} \sqrt{2 (y + 10)}} (x \sqrt{2 y + 20})$

Schritt 1.2.4.2

Potenziere $\sqrt{2 (y + 10)}$ mit $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{{\sqrt{2 (y + 10)}}^{1} \sqrt{2 (y + 10)}} (x \sqrt{2 y + 20})$

Schritt 1.2.4.3

Potenziere $\sqrt{2 (y + 10)}$ mit $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{{\sqrt{2 (y + 10)}}^{1} {\sqrt{2 (y + 10)}}^{1}} (x \sqrt{2 y + 20})$

Schritt 1.2.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{{\sqrt{2 (y + 10)}}^{1 + 1}} (x \sqrt{2 y + 20})$

Schritt 1.2.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{{\sqrt{2 (y + 10)}}^{2}} (x \sqrt{2 y + 20})$

Schritt 1.2.4.6

Schreibe ${\sqrt{2 (y + 10)}}^{2}$ als $2 (y + 10)$ um.

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Schritt 1.2.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 (y + 10)}$ als ${(2 (y + 10))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{{({(2 (y + 10))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (x \sqrt{2 y + 20})$

Schritt 1.2.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{{(2 (y + 10))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (x \sqrt{2 y + 20})$

Schritt 1.2.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{{(2 (y + 10))}^{\frac{2}{2}}} (x \sqrt{2 y + 20})$

Schritt 1.2.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{{(2 (y + 10))}^{\frac{2}{2}}} (x \sqrt{2 y + 20})$

Schritt 1.2.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{{(2 (y + 10))}^{1}} (x \sqrt{2 y + 20})$

Schritt 1.2.4.6.5

Vereinfache.

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{2 (y + 10)} (x \sqrt{2 y + 20})$

Schritt 1.2.5

Kombiniere $7$ und $\frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{2 (y + 10)}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{7 \sqrt{2 (y + 10)}}{2 (y + 10)} (x \sqrt{2 y + 20})$

Schritt 1.2.6

Faktorisiere $2$ aus $2 y + 20$ heraus.

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Schritt 1.2.6.1

Faktorisiere $2$ aus $2 y$ heraus.

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{7 \sqrt{2 (y + 10)}}{2 (y + 10)} (x \sqrt{2 (y) + 20})$

Schritt 1.2.6.2

Faktorisiere $2$ aus $20$ heraus.

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{7 \sqrt{2 (y + 10)}}{2 (y + 10)} (x \sqrt{2 y + 2 \cdot 10})$

Schritt 1.2.6.3

Faktorisiere $2$ aus $2 y + 2 \cdot 10$ heraus.

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{7 \sqrt{2 (y + 10)}}{2 (y + 10)} (x \sqrt{2 (y + 10)})$

Schritt 1.2.7

Multipliziere $\frac{7 \sqrt{2 (y + 10)}}{2 (y + 10)} (x \sqrt{2 (y + 10)})$ .

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Schritt 1.2.7.1

Kombiniere $x$ und $\frac{7 \sqrt{2 (y + 10)}}{2 (y + 10)}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (7 \sqrt{2 (y + 10)})}{2 (y + 10)} \sqrt{2 (y + 10)}$

Schritt 1.2.7.2

Kombiniere $\frac{x (7 \sqrt{2 (y + 10)})}{2 (y + 10)}$ und $\sqrt{2 (y + 10)}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (7 \sqrt{2 (y + 10)}) \sqrt{2 (y + 10)}}{2 (y + 10)}$

Schritt 1.2.7.3

Potenziere $\sqrt{2 (y + 10)}$ mit $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (7 ({\sqrt{2 (y + 10)}}^{1} \sqrt{2 (y + 10)}))}{2 (y + 10)}$

Schritt 1.2.7.4

Potenziere $\sqrt{2 (y + 10)}$ mit $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (7 ({\sqrt{2 (y + 10)}}^{1} {\sqrt{2 (y + 10)}}^{1}))}{2 (y + 10)}$

Schritt 1.2.7.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (7 {\sqrt{2 (y + 10)}}^{1 + 1})}{2 (y + 10)}$

Schritt 1.2.7.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (7 {\sqrt{2 (y + 10)}}^{2})}{2 (y + 10)}$

Schritt 1.2.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.8.1

Schreibe ${\sqrt{2 (y + 10)}}^{2}$ als $2 (y + 10)$ um.

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Schritt 1.2.8.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 (y + 10)}$ als ${(2 (y + 10))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 {({(2 (y + 10))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 (y + 10)}$

Schritt 1.2.8.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 {(2 (y + 10))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2 (y + 10)}$

Schritt 1.2.8.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 {(2 (y + 10))}^{\frac{2}{2}}}{2 (y + 10)}$

Schritt 1.2.8.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.8.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 {(2 (y + 10))}^{\frac{2}{2}}}{2 (y + 10)}$

Schritt 1.2.8.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 {(2 (y + 10))}^{1}}{2 (y + 10)}$

Schritt 1.2.8.1.5

Vereinfache.

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 (2 (y + 10))}{2 (y + 10)}$

Schritt 1.2.8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 (2 y + 2 \cdot 10)}{2 (y + 10)}$

Schritt 1.2.8.3

Mutltipliziere $2$ mit $10$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 (2 y + 20)}{2 (y + 10)}$

Schritt 1.2.8.4

Faktorisiere $2$ aus $2 y + 20$ heraus.

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Schritt 1.2.8.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 y$ heraus.

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 (2 (y) + 20)}{2 (y + 10)}$

Schritt 1.2.8.4.2

Faktorisiere $2$ aus $20$ heraus.

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 (2 y + 2 \cdot 10)}{2 (y + 10)}$

Schritt 1.2.8.4.3

Faktorisiere $2$ aus $2 y + 2 \cdot 10$ heraus.

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 (2 (y + 10))}{2 (y + 10)}$

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 \cdot 2 (y + 10)}{2 (y + 10)}$

Schritt 1.2.8.5

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 14 (y + 10)}{2 (y + 10)}$

Schritt 1.2.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $14$ und $2$ .

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Schritt 1.2.9.1

Faktorisiere $2$ aus $x \cdot 14 (y + 10)$ heraus.

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 (x \cdot 7 (y + 10))}{2 (y + 10)}$

Schritt 1.2.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.9.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 (x \cdot 7 (y + 10))}{2 (y + 10)}$

Schritt 1.2.9.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 (y + 10)}{y + 10}$

Schritt 1.2.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y + 10$ .

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Schritt 1.2.10.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 (y + 10)}{y + 10}$

Schritt 1.2.10.2

Dividiere $x \cdot 7$ durch $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = x \cdot 7$

Schritt 1.2.11

Bringe $7$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 x$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} d y = 7 x d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} d y = \int 7 x d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Sei $u = 2 y + 20$ . Dann ist $d u = 2 d y$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.2.1.1

Es sei $u = 2 y + 20$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Differenziere $2 y + 20$ .

$\frac{d}{d y} [2 y + 20]$

Schritt 2.2.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 y + 20$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [20]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [20]$

Schritt 2.2.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

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Schritt 2.2.1.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 y$ nach $y$ gleich $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [20]$

Schritt 2.2.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [20]$

Schritt 2.2.1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d y} [20]$

Schritt 2.2.1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.2.1.1.4.1

Da $20$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $20$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$2 + 0$

Schritt 2.2.1.1.4.2

Addiere $2$ und $0$ .

$2$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u = \int 7 x d x$

Schritt 2.2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{u}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u = \int 7 x d x$

Schritt 2.2.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sqrt{u}$ .

$\int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u = \int 7 x d x$

Schritt 2.2.3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u = \int 7 x d x$

Schritt 2.2.4

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.2.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u = \int 7 x d x$

Schritt 2.2.4.2

Bringe $u^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u = \int 7 x d x$

Schritt 2.2.4.3

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.4.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u = \int 7 x d x$

Schritt 2.2.4.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u = \int 7 x d x$

Schritt 2.2.4.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u = \int 7 x d x$

Schritt 2.2.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1}) = \int 7 x d x$

Schritt 2.2.6

Vereinfache.

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Schritt 2.2.6.1

Schreibe $\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1})$ als $\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1}$ um.

$\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 7 x d x$

Schritt 2.2.6.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.6.2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 7 x d x$

Schritt 2.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 7 x d x$

Schritt 2.2.6.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 7 x d x$

Schritt 2.2.6.2.3

Mutltipliziere $u^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 7 x d x$

Schritt 2.2.7

Ersetze alle $u$ durch $2 y + 20$ .

${(2 y + 20)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 7 x d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $7$ aus dem Integral.

${(2 y + 20)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 7 \int x d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

${(2 y + 20)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 7 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.3.3.1

Schreibe $7 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ als $7 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ um.

${(2 y + 20)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 7 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2

Kombiniere $7$ und $\frac{1}{2}$ .

${(2 y + 20)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{7}{2} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

${(2 y + 20)}^{\frac{1}{2}} = \frac{7}{2} x^{2} + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $2$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${({(2 y + 20)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{7}{2} x^{2} + K)}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache ${({(2 y + 20)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(2 y + 20)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 y + 20)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{7}{2} x^{2} + K)}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(2 y + 20)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{7}{2} x^{2} + K)}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(2 y + 20)}^{1} = {(\frac{7}{2} x^{2} + K)}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2

Vereinfache.

$2 y + 20 = {(\frac{7}{2} x^{2} + K)}^{2}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache ${(\frac{7}{2} x^{2} + K)}^{2}$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.2.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{7}{2}$ und $x^{2}$ .

$2 y + 20 = {(\frac{7 x^{2}}{2} + K)}^{2}$

Schritt 3.2.2.1.1.2

Schreibe ${(\frac{7 x^{2}}{2} + K)}^{2}$ als $(\frac{7 x^{2}}{2} + K) (\frac{7 x^{2}}{2} + K)$ um.

$2 y + 20 = (\frac{7 x^{2}}{2} + K) (\frac{7 x^{2}}{2} + K)$

Schritt 3.2.2.1.2

Multipliziere $(\frac{7 x^{2}}{2} + K) (\frac{7 x^{2}}{2} + K)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.2.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 y + 20 = \frac{7 x^{2}}{2} (\frac{7 x^{2}}{2} + K) + K (\frac{7 x^{2}}{2} + K)$

Schritt 3.2.2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 y + 20 = \frac{7 x^{2}}{2} \cdot \frac{7 x^{2}}{2} + \frac{7 x^{2}}{2} K + K (\frac{7 x^{2}}{2} + K)$

Schritt 3.2.2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 y + 20 = \frac{7 x^{2}}{2} \cdot \frac{7 x^{2}}{2} + \frac{7 x^{2}}{2} K + K \frac{7 x^{2}}{2} + K \cdot K$

Schritt 3.2.2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.2.2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.2.1.3.1.1

Kombinieren.

$2 y + 20 = \frac{7 x^{2} (7 x^{2})}{2 \cdot 2} + \frac{7 x^{2}}{2} K + K \frac{7 x^{2}}{2} + K \cdot K$

Schritt 3.2.2.1.3.1.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.2.1.3.1.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$2 y + 20 = \frac{7 (x^{2} x^{2}) \cdot 7}{2 \cdot 2} + \frac{7 x^{2}}{2} K + K \frac{7 x^{2}}{2} + K \cdot K$

Schritt 3.2.2.1.3.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 y + 20 = \frac{7 x^{2 + 2} \cdot 7}{2 \cdot 2} + \frac{7 x^{2}}{2} K + K \frac{7 x^{2}}{2} + K \cdot K$

Schritt 3.2.2.1.3.1.2.3

Addiere $2$ und $2$ .

$2 y + 20 = \frac{7 x^{4} \cdot 7}{2 \cdot 2} + \frac{7 x^{2}}{2} K + K \frac{7 x^{2}}{2} + K \cdot K$

Schritt 3.2.2.1.3.1.3

Mutltipliziere $7$ mit $7$ .

$2 y + 20 = \frac{49 x^{4}}{2 \cdot 2} + \frac{7 x^{2}}{2} K + K \frac{7 x^{2}}{2} + K \cdot K$

Schritt 3.2.2.1.3.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$2 y + 20 = \frac{49 x^{4}}{4} + \frac{7 x^{2}}{2} K + K \frac{7 x^{2}}{2} + K \cdot K$

Schritt 3.2.2.1.3.1.5

Kombiniere $\frac{7 x^{2}}{2}$ und $K$ .

$2 y + 20 = \frac{49 x^{4}}{4} + \frac{7 x^{2} K}{2} + K \frac{7 x^{2}}{2} + K \cdot K$

Schritt 3.2.2.1.3.1.6

Kombiniere $K$ und $\frac{7 x^{2}}{2}$ .

$2 y + 20 = \frac{49 x^{4}}{4} + \frac{7 x^{2} K}{2} + \frac{K (7 x^{2})}{2} + K (K)$

Schritt 3.2.2.1.3.1.7

Bringe $7$ auf die linke Seite von $K$ .

$2 y + 20 = \frac{49 x^{4}}{4} + \frac{7 x^{2} K}{2} + \frac{7 \cdot K x^{2}}{2} + K \cdot K$

Schritt 3.2.2.1.3.1.8

Mutltipliziere $K$ mit $K$ .

$2 y + 20 = \frac{49 x^{4}}{4} + \frac{7 x^{2} K}{2} + \frac{7 K x^{2}}{2} + K^{2}$

Schritt 3.2.2.1.3.2

Addiere $\frac{7 x^{2} K}{2}$ und $\frac{7 K x^{2}}{2}$ .

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Schritt 3.2.2.1.3.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$2 y + 20 = \frac{49 x^{4}}{4} + \frac{7 K x^{2}}{2} + \frac{7 K x^{2}}{2} + K^{2}$

Schritt 3.2.2.1.3.2.2

Addiere $\frac{7 K x^{2}}{2}$ und $\frac{7 K x^{2}}{2}$ .

$2 y + 20 = \frac{49 x^{4}}{4} + 2 \frac{7 K x^{2}}{2} + K^{2}$

Schritt 3.2.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 y + 20 = \frac{49 x^{4}}{4} + 2 \frac{7 K x^{2}}{2} + K^{2}$

Schritt 3.2.2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$2 y + 20 = \frac{49 x^{4}}{4} + 7 K x^{2} + K^{2}$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Subtrahiere $20$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y = \frac{49 x^{4}}{4} + 7 K x^{2} + K^{2} - 20$

Schritt 3.3.2

Teile jeden Ausdruck in $2 y = \frac{49 x^{4}}{4} + 7 K x^{2} + K^{2} - 20$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y = \frac{49 x^{4}}{4} + 7 K x^{2} + K^{2} - 20$ durch $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\frac{49 x^{4}}{4}}{2} + \frac{7 K x^{2}}{2} + \frac{K^{2}}{2} + \frac{- 20}{2}$

Schritt 3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\frac{49 x^{4}}{4}}{2} + \frac{7 K x^{2}}{2} + \frac{K^{2}}{2} + \frac{- 20}{2}$

Schritt 3.3.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\frac{49 x^{4}}{4}}{2} + \frac{7 K x^{2}}{2} + \frac{K^{2}}{2} + \frac{- 20}{2}$

Schritt 3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.2.3.1.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y = \frac{49 x^{4}}{4} \cdot \frac{1}{2} + \frac{7 K x^{2}}{2} + \frac{K^{2}}{2} + \frac{- 20}{2}$

Schritt 3.3.2.3.1.2

Kombinieren.

$y = \frac{49 x^{4} \cdot 1}{4 \cdot 2} + \frac{7 K x^{2}}{2} + \frac{K^{2}}{2} + \frac{- 20}{2}$

Schritt 3.3.2.3.1.3

Mutltipliziere $49$ mit $1$ .

$y = \frac{49 x^{4}}{4 \cdot 2} + \frac{7 K x^{2}}{2} + \frac{K^{2}}{2} + \frac{- 20}{2}$

Schritt 3.3.2.3.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$y = \frac{49 x^{4}}{8} + \frac{7 K x^{2}}{2} + \frac{K^{2}}{2} + \frac{- 20}{2}$

Schritt 3.3.2.3.1.5

Dividiere $- 20$ durch $2$ .

$y = \frac{49 x^{4}}{8} + \frac{7 K x^{2}}{2} + \frac{K^{2}}{2} - 10$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{49 x^{4}}{8} + \frac{K x^{2}}{2} + K$

Schritt 5

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $0$ für $x$ und $5$ für $y$ in $y = \frac{49 x^{4}}{8} + \frac{K x^{2}}{2} + K$ ersetzt wird.

$5 = \frac{49 \cdot 0^{4}}{8} + \frac{K \cdot 0^{2}}{2} + K$

Schritt 6

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{49 \cdot 0^{4}}{8} + \frac{K \cdot 0^{2}}{2} + K = 5$ um.

$\frac{49 \cdot 0^{4}}{8} + \frac{K \cdot 0^{2}}{2} + K = 5$

Schritt 6.2

Vereinfache $\frac{49 \cdot 0^{4}}{8} + \frac{K \cdot 0^{2}}{2} + K$ .

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{49 \cdot 0}{8} + \frac{K \cdot 0^{2}}{2} + K = 5$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $49$ mit $0$ .

$\frac{0}{8} + \frac{K \cdot 0^{2}}{2} + K = 5$

Schritt 6.2.1.3

Dividiere $0$ durch $8$ .

$0 + \frac{K \cdot 0^{2}}{2} + K = 5$

Schritt 6.2.1.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 + \frac{K \cdot 0}{2} + K = 5$

Schritt 6.2.1.5

Mutltipliziere $K$ mit $0$ .

$0 + \frac{0}{2} + K = 5$

Schritt 6.2.1.6

Dividiere $0$ durch $2$ .

$0 + 0 + K = 5$

Schritt 6.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $0 + 0 + K$ .

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Schritt 6.2.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$0 + K = 5$

Schritt 6.2.2.2

Addiere $0$ und $K$ .

$K = 5$

Schritt 7

Setze $5$ für $K$ in $y = \frac{49 x^{4}}{8} + \frac{K x^{2}}{2} + K$ ein und vereinfache.

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Schritt 7.1

Ersetze $K$ durch $5$ .

$y = \frac{49 x^{4}}{8} + \frac{5 x^{2}}{2} + K$