Analysis Beispiele

Löse die Differntialgleichung. e^(5x)(dy)/(dx)+5e^(5x)y=sin(8x)
Schritt 1
Prüfe, ob die linke Seite der Gleichung das Ergebnis der Ableitung des Ausdrucks ist.
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Schritt 1.1
Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass gleich ist mit und .
Schritt 1.2
Schreibe als um.
Schritt 1.3
Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass ist , mit und .
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Schritt 1.3.1
Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze durch .
Schritt 1.3.2
Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass gleich ist, wobei =.
Schritt 1.3.3
Ersetze alle durch .
Schritt 1.4
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.5
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.7
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 1.8
Ersetze durch .
Schritt 1.9
Entferne die Klammern.
Schritt 1.10
Stelle und um.
Schritt 2
Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.
Schritt 3
Integriere auf beiden Seiten.
Schritt 4
Integriere die linke Seite.
Schritt 5
Integriere die rechte Seite.
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Schritt 5.1
Sei . Dann ist , folglich . Forme um unter Verwendung von und .
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Schritt 5.1.1
Es sei . Ermittle .
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Schritt 5.1.1.1
Differenziere .
Schritt 5.1.1.2
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 5.1.1.3
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 5.1.1.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.1.2
Schreibe die Aufgabe mithlfe von und neu.
Schritt 5.2
Kombiniere und .
Schritt 5.3
Da konstant bezüglich ist, ziehe aus dem Integral.
Schritt 5.4
Das Integral von nach ist .
Schritt 5.5
Vereinfache.
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Schritt 5.5.1
Vereinfache.
Schritt 5.5.2
Kombiniere und .
Schritt 5.6
Ersetze alle durch .
Schritt 5.7
Stelle die Terme um.
Schritt 6
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
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Schritt 6.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 6.2
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 6.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 6.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 6.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 6.3
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 6.3.1
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 6.3.1.1
Kombiniere und .
Schritt 6.3.1.2
Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.
Schritt 6.3.1.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.3.1.4
Bringe auf die linke Seite von .