Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{4} \sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} (\frac{1}{4} \sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y}))$

Schritt 1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})$

Schritt 1.2.2

Kombinieren.

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{4 (\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y}))} \sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})$

Schritt 1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{y}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Faktorisiere $\sqrt{y}$ aus $4 (\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y}))$ heraus.

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{\sqrt{y} (4 (\cos^{2} (\sqrt{y})))} \sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})$

Schritt 1.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{\sqrt{y} (4 (\cos^{2} (\sqrt{y})))} \sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})$

Schritt 1.2.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{4 (\cos^{2} (\sqrt{y}))} \cos^{2} (\sqrt{y})$

Schritt 1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos^{2} (\sqrt{y})$ .

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Schritt 1.2.4.1

Faktorisiere $\cos^{2} (\sqrt{y})$ aus $4 (\cos^{2} (\sqrt{y}))$ heraus.

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{\cos^{2} (\sqrt{y}) \cdot 4} \cos^{2} (\sqrt{y})$

Schritt 1.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{\cos^{2} (\sqrt{y}) \cdot 4} \cos^{2} (\sqrt{y})$

Schritt 1.2.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{4}$

Schritt 1.2.5

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4}$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} d y = \frac{1}{4} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} d y = \int \frac{1}{4} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1.1

Multipliziere mit $1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{y} (\cos^{2} (\sqrt{y}) \cdot 1)} d y = \int \frac{1}{4} d x$

Schritt 2.2.1.2

Separiere Brüche.

$\int \frac{1}{\sqrt{y} \cdot (1)} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (\sqrt{y})} d y = \int \frac{1}{4} d x$

Schritt 2.2.1.3

Wandle von $\frac{1}{\cos^{2} (\sqrt{y})}$ nach $\sec^{2} (\sqrt{y})$ um.

$\int \frac{1}{\sqrt{y} \cdot (1)} \sec^{2} (\sqrt{y}) d y = \int \frac{1}{4} d x$

Schritt 2.2.1.4

Mutltipliziere $\sqrt{y}$ mit $1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{y}} \sec^{2} (\sqrt{y}) d y = \int \frac{1}{4} d x$

Schritt 2.2.1.5

Kombiniere $\frac{1}{\sqrt{y}}$ und $\sec^{2} (\sqrt{y})$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\sqrt{y})}{\sqrt{y}} d y = \int \frac{1}{4} d x$

Schritt 2.2.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.2.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y}$ als $y^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int \frac{\sec^{2} (y^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{y}} d y = \int \frac{1}{4} d x$

Schritt 2.2.2.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y}$ als $y^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int \frac{\sec^{2} (y^{\frac{1}{2}})}{y^{\frac{1}{2}}} d y = \int \frac{1}{4} d x$

Schritt 2.2.2.3

Bringe $y^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int \sec^{2} (y^{\frac{1}{2}}) {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y = \int \frac{1}{4} d x$

Schritt 2.2.2.4

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.2.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sec^{2} (y^{\frac{1}{2}}) y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y = \int \frac{1}{4} d x$

Schritt 2.2.2.4.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\int \sec^{2} (y^{\frac{1}{2}}) y^{\frac{- 1}{2}} d y = \int \frac{1}{4} d x$

Schritt 2.2.2.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int \sec^{2} (y^{\frac{1}{2}}) y^{- \frac{1}{2}} d y = \int \frac{1}{4} d x$

Schritt 2.2.3

Sei $u = y^{\frac{1}{2}}$ . Dann ist $d u = \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} d y$ , folglich $- d u = \frac{- 1}{2 y^{\frac{1}{2}}} d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.2.3.1

Es sei $u = y^{\frac{1}{2}}$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 2.2.3.1.1

Differenziere $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.2.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1}$

Schritt 2.2.3.1.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Schritt 2.2.3.1.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Schritt 2.2.3.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Schritt 2.2.3.1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.3.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}}$

Schritt 2.2.3.1.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}}$

Schritt 2.2.3.1.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 2.2.3.1.8

Vereinfache.

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Schritt 2.2.3.1.8.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.2.3.1.8.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.2.3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int 2 \sec^{2} (u) d u = \int \frac{1}{4} d x$

Schritt 2.2.4

Da $2$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int \sec^{2} (u) d u = \int \frac{1}{4} d x$

Schritt 2.2.5

Da die Ableitung von $\tan (u)$ gleich $\sec^{2} (u)$ ist, ist das Integral von $\sec^{2} (u)$ gleich $\tan (u)$ .

$2 (\tan (u) + C_{1}) = \int \frac{1}{4} d x$

Schritt 2.2.6

Vereinfache.

$2 \tan (u) + C_{1} = \int \frac{1}{4} d x$

Schritt 2.2.7

Ersetze alle $u$ durch $y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \tan (y^{\frac{1}{2}}) + C_{1} = \int \frac{1}{4} d x$

Schritt 2.3

Wende die Konstantenregel an.

$2 \tan (y^{\frac{1}{2}}) + C_{1} = \frac{1}{4} x + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$2 \tan (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{4} x + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \tan (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{4} x + K$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \tan (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{4} x + K$ durch $2$ .

$\frac{2 \tan (y^{\frac{1}{2}})}{2} = \frac{\frac{1}{4} x}{2} + \frac{K}{2}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \tan (y^{\frac{1}{2}})}{2} = \frac{\frac{1}{4} x}{2} + \frac{K}{2}$

Schritt 3.1.2.1.2

Dividiere $\tan (y^{\frac{1}{2}})$ durch $1$ .

$\tan (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{\frac{1}{4} x}{2} + \frac{K}{2}$

Schritt 3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.3.1.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x$ .

$\tan (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{\frac{x}{4}}{2} + \frac{K}{2}$

Schritt 3.1.3.1.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\tan (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{x}{4} \cdot \frac{1}{2} + \frac{K}{2}$

Schritt 3.1.3.1.3

Multipliziere $\frac{x}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 3.1.3.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{x}{4}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\tan (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{x}{4 \cdot 2} + \frac{K}{2}$

Schritt 3.1.3.1.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\tan (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{x}{8} + \frac{K}{2}$

Schritt 3.2

Ersetze $y^{\frac{1}{2}}$ durch $u$ .

$\tan (u) = \frac{x}{8} + \frac{K}{2}$

Schritt 3.3

Stelle $\frac{x}{8}$ und $\frac{K}{2}$ um.

$\tan (u) = \frac{K}{2} + \frac{x}{8}$

Schritt 3.4

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $u$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$u = \arctan (\frac{K}{2} + \frac{x}{8})$

Schritt 3.5

Setze $y^{\frac{1}{2}}$ für $u$ ein und löse $y^{\frac{1}{2}} = \arctan (\frac{K}{2} + \frac{x}{8})$

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Schritt 3.5.1

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $2$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {\arctan (\frac{K}{2} + \frac{x}{8})}^{2}$

Schritt 3.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.1

Vereinfache ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.5.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.5.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\arctan (\frac{K}{2} + \frac{x}{8})}^{2}$

Schritt 3.5.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.5.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\arctan (\frac{K}{2} + \frac{x}{8})}^{2}$

Schritt 3.5.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{1} = {\arctan (\frac{K}{2} + \frac{x}{8})}^{2}$

Schritt 3.5.2.1.2

Vereinfache.

$y = {\arctan (\frac{K}{2} + \frac{x}{8})}^{2}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = {\arctan (K + \frac{x}{8})}^{2}$