Analysis Beispiele

$x^{2} \cdot \frac{d y}{d x} = y - x y$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $x^{2} \cdot \frac{d y}{d x} = y - x y$ durch $x^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.1

Teile jeden Ausdruck in $x^{2} \cdot \frac{d y}{d x} = y - x y$ durch $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \cdot \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{- x y}{x^{2}}$

Schritt 1.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 1.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} \cdot \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{- x y}{x^{2}}$

Schritt 1.1.2.1.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{- x y}{x^{2}}$

Schritt 1.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

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Schritt 1.1.3.1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $- x y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{x (- 1 y)}{x^{2}}$

Schritt 1.1.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.3.1.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{x (- 1 y)}{x \cdot x}$

Schritt 1.1.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{x (- 1 y)}{x \cdot x}$

Schritt 1.1.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{- 1 y}{x}$

Schritt 1.1.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} - \frac{y}{x}$

Schritt 1.2

Faktorisiere.

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Schritt 1.2.1

Um $- \frac{y}{x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} - \frac{y}{x} \cdot \frac{x}{x}$

Schritt 1.2.2

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $x^{2}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{y}{x}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} - \frac{y x}{x \cdot x}$

Schritt 1.2.2.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} - \frac{y x}{x^{1} x}$

Schritt 1.2.2.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} - \frac{y x}{x^{1} x^{1}}$

Schritt 1.2.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} - \frac{y x}{x^{1 + 1}}$

Schritt 1.2.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} - \frac{y x}{x^{2}}$

Schritt 1.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y - y x}{x^{2}}$

Schritt 1.2.4

Faktorisiere $y$ aus $y - y x$ heraus.

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Schritt 1.2.4.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{1} - y x}{x^{2}}$

Schritt 1.2.4.2

Faktorisiere $y$ aus $y^{1}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot 1 - y x}{x^{2}}$

Schritt 1.2.4.3

Faktorisiere $y$ aus $- y x$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot 1 + y (- x)}{x^{2}}$

Schritt 1.2.4.4

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot 1 + y (- x)$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot (1 - x)}{x^{2}}$

Schritt 1.2.4.5

Mutltipliziere $y$ mit $1 - x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (1 - x)}{x^{2}}$

Schritt 1.3

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d y}{d x} = y \frac{1 - x}{x^{2}}$

Schritt 1.4

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{1 - x}{x^{2}})$

Schritt 1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{1 - x}{x^{2}})$

Schritt 1.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 - x}{x^{2}}$

Schritt 1.6

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1 - x}{x^{2}} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{1 - x}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1 - x}{x^{2}} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.3.1.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int (1 - x) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Schritt 2.3.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.3.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int (1 - x) x^{2 \cdot - 1} d x$

Schritt 2.3.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int (1 - x) x^{- 2} d x$

Schritt 2.3.2

Multipliziere $(1 - x) x^{- 2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 1 x^{- 2} - x \cdot x^{- 2} d x$

Schritt 2.3.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.1

Mutltipliziere $x^{- 2}$ mit $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- 2} - x \cdot x^{- 2} d x$

Schritt 2.3.3.2

Multipliziere $x$ mit $x^{- 2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.3.2.1

Bewege $x^{- 2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- 2} - (x^{- 2} x) d x$

Schritt 2.3.3.2.2

Mutltipliziere $x^{- 2}$ mit $x$ .

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Schritt 2.3.3.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- 2} - (x^{- 2} x^{1}) d x$

Schritt 2.3.3.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 2 + 1} d x$

Schritt 2.3.3.2.3

Addiere $- 2$ und $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 1} d x$

Schritt 2.3.4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- 2} d x + \int - x^{- 1} d x$

Schritt 2.3.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2} + \int - x^{- 1} d x$

Schritt 2.3.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2} - \int x^{- 1} d x$

Schritt 2.3.7

Das Integral von $x^{- 1}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2} - (\ln (| x |) + C_{3})$

Schritt 2.3.8

Vereinfache.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{x} - \ln (| x |) + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y |) = - \frac{1}{x} - \ln (| x |) + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| y |) + \ln (| x |) = - \frac{1}{x} + C$

Schritt 3.2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y | | x |) = - \frac{1}{x} + C$

Schritt 3.3

Um Absolutwerte zu multiplizieren, multipliziere die Terme innerhalb jedes Absolutwerts.

$\ln (| y x |) = - \frac{1}{x} + C$

Schritt 3.4

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| y x |)} = e^{- \frac{1}{x} + C}$

Schritt 3.5

Schreibe $\ln (| y x |) = - \frac{1}{x} + C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{x} + C} = | y x |$

Schritt 3.6

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.6.1

Schreibe die Gleichung als $| y x | = e^{- \frac{1}{x} + C}$ um.

$| y x | = e^{- \frac{1}{x} + C}$

Schritt 3.6.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y x = \pm e^{- \frac{1}{x} + C}$

Schritt 3.6.3

Teile jeden Ausdruck in $y x = \pm e^{- \frac{1}{x} + C}$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 3.6.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y x = \pm e^{- \frac{1}{x} + C}$ durch $x$ .

$\frac{y x}{x} = \frac{\pm e^{- \frac{1}{x} + C}}{x}$

Schritt 3.6.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.6.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.6.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y x}{x} = \frac{\pm e^{- \frac{1}{x} + C}}{x}$

Schritt 3.6.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\pm e^{- \frac{1}{x} + C}}{x}$

Schritt 3.6.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.6.3.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.3.3.1.1

Um $C$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$y = \frac{\pm e^{- \frac{1}{x} + \frac{C x}{x}}}{x}$

Schritt 3.6.3.3.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{\pm e^{\frac{- 1 + C x}{x}}}{x}$