Analysis Beispiele

$x \frac{d y}{d x} + 2 y = x^{3} - x$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ um.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d y}{d x} + 2 y = x^{3} - x$ durch $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x^{3}}{x} + \frac{- x}{x}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x^{3}}{x} + \frac{- x}{x}$

Schritt 1.2.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x^{3}}{x} + \frac{- x}{x}$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{3}$ und $x$ .

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Schritt 1.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x \cdot x^{2}}{x} + \frac{- x}{x}$

Schritt 1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} + \frac{- x}{x}$

Schritt 1.3.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \frac{- x}{x}$

Schritt 1.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \frac{- x}{x}$

Schritt 1.3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x^{2}}{1} + \frac{- x}{x}$

Schritt 1.3.2.5

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = x^{2} + \frac{- x}{x}$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = x^{2} + \frac{- x}{x}$

Schritt 1.4.2

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = x^{2} - 1$

Schritt 1.5

Faktorisiere $y$ aus $\frac{2 y}{x}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + y \frac{2}{x} = x^{2} - 1$

Schritt 1.6

Stelle $y$ und $\frac{2}{x}$ um.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x} y = x^{2} - 1$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = \frac{2}{x}$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int \frac{2}{x} d x}$

Schritt 2.2

Integriere $\frac{2}{x}$ .

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Schritt 2.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 2.2.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache.

$e^{2 \ln (| x |) + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{2 \ln (x)}$

Schritt 2.4

Verwende die Potenzregel des Logarithmus.

$e^{\ln (x^{2})}$

Schritt 2.5

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$x^{2}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $x^{2}$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} (\frac{2}{x} y) = x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $\frac{2}{x}$ und $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{2 y}{x} = x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1$

Schritt 3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1$

Schritt 3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x (2 y) = x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1$

Schritt 3.2.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1$

Schritt 3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 1$

Schritt 3.3.1.2

Addiere $2$ und $2$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{4} + x^{2} \cdot - 1$

Schritt 3.3.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{4} - 1 \cdot x^{2}$

Schritt 3.3.3

Schreibe $- 1 x^{2}$ als $- x^{2}$ um.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{4} - x^{2}$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = x^{4} - x^{2}$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int x^{4} - x^{2} d x$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$x^{2} y = \int x^{4} - x^{2} d x$

Schritt 7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$x^{2} y = \int x^{4} d x + \int - x^{2} d x$

Schritt 7.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$x^{2} y = \frac{1}{5} x^{5} + C + \int - x^{2} d x$

Schritt 7.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$x^{2} y = \frac{1}{5} x^{5} + C - \int x^{2} d x$

Schritt 7.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$x^{2} y = \frac{1}{5} x^{5} + C - (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Schritt 7.5

Vereinfache.

$x^{2} y = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{1}{3} x^{3} + C$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $x^{2} y = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{1}{3} x^{3} + C$ durch $x^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $x^{2} y = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{1}{3} x^{3} + C$ durch $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x^{2}} + \frac{- \frac{1}{3} x^{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x^{2}} + \frac{- \frac{1}{3} x^{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x^{2}} + \frac{- \frac{1}{3} x^{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{5}$ und $x^{2}$ .

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Schritt 8.3.1.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $\frac{1}{5} x^{5}$ heraus.

$y = \frac{x^{2} (\frac{1}{5} x^{3})}{x^{2}} + \frac{- \frac{1}{3} x^{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 8.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.1.1.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$y = \frac{x^{2} (\frac{1}{5} x^{3})}{x^{2} \cdot 1} + \frac{- \frac{1}{3} x^{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 8.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{x^{2} (\frac{1}{5} x^{3})}{x^{2} \cdot 1} + \frac{- \frac{1}{3} x^{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 8.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{\frac{1}{5} x^{3}}{1} + \frac{- \frac{1}{3} x^{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 8.3.1.1.2.4

Dividiere $\frac{1}{5} x^{3}$ durch $1$ .

$y = \frac{1}{5} x^{3} + \frac{- \frac{1}{3} x^{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 8.3.1.2

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $x^{3}$ .

$y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{- \frac{1}{3} x^{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 8.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{3}$ und $x^{2}$ .

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Schritt 8.3.1.3.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- \frac{1}{3} x^{3}$ heraus.

$y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{x^{2} (- \frac{1}{3} x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 8.3.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.1.3.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{x^{2} (- \frac{1}{3} x)}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 8.3.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{x^{2} (- \frac{1}{3} x)}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 8.3.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{- \frac{1}{3} x}{1} + \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 8.3.1.3.2.4

Dividiere $- \frac{1}{3} x$ durch $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{5} - \frac{1}{3} x + \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 8.3.1.4

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{3}$ .

$y = \frac{x^{3}}{5} - \frac{x}{3} + \frac{C}{x^{2}}$