Analysis Beispiele

$8 x y^{3} d x + 12 x^{2} y^{2} d y = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $8 x y^{3} d x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$12 x^{2} y^{2} d y = - 8 x y^{3} d x$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{x^{2} y^{3}}$ .

$\frac{1}{x^{2} y^{3}} (12 x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} y^{3}} (- 8 x y^{3}) d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$12 \frac{1}{x^{2} y^{3}} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} y^{3}} (- 8 x y^{3}) d x$

Schritt 3.2

Kombiniere $12$ und $\frac{1}{x^{2} y^{3}}$ .

$\frac{12}{x^{2} y^{3}} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} y^{3}} (- 8 x y^{3}) d x$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} y^{2}$ .

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $x^{2} y^{2}$ aus $x^{2} y^{3}$ heraus.

$\frac{12}{x^{2} y^{2} (y)} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} y^{3}} (- 8 x y^{3}) d x$

Schritt 3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{12}{x^{2} y^{2} y} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} y^{3}} (- 8 x y^{3}) d x$

Schritt 3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{12}{y} d y = \frac{1}{x^{2} y^{3}} (- 8 x y^{3}) d x$

Schritt 3.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{12}{y} d y = - 8 \frac{1}{x^{2} y^{3}} (x y^{3}) d x$

Schritt 3.5

Kombiniere $- 8$ und $\frac{1}{x^{2} y^{3}}$ .

$\frac{12}{y} d y = \frac{- 8}{x^{2} y^{3}} (x y^{3}) d x$

Schritt 3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x y^{3}$ .

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Schritt 3.6.1

Faktorisiere $x y^{3}$ aus $x^{2} y^{3}$ heraus.

$\frac{12}{y} d y = \frac{- 8}{x y^{3} (x)} (x y^{3}) d x$

Schritt 3.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{12}{y} d y = \frac{- 8}{x y^{3} x} (x y^{3}) d x$

Schritt 3.6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{12}{y} d y = \frac{- 8}{x} d x$

Schritt 3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{12}{y} d y = - \frac{8}{x} d x$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

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Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{12}{y} d y = \int - \frac{8}{x} d x$

Schritt 4.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Da $12$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $12$ aus dem Integral.

$12 \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{8}{x} d x$

Schritt 4.2.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$12 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int - \frac{8}{x} d x$

Schritt 4.2.3

Vereinfache.

$12 \ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{8}{x} d x$

Schritt 4.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$12 \ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{8}{x} d x$

Schritt 4.3.2

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $8$ aus dem Integral.

$12 \ln (| y |) + C_{1} = - (8 \int \frac{1}{x} d x)$

Schritt 4.3.3

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$12 \ln (| y |) + C_{1} = - 8 \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.3.4

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$12 \ln (| y |) + C_{1} = - 8 (\ln (| x |) + C_{2})$

Schritt 4.3.5

Vereinfache.

$12 \ln (| y |) + C_{1} = - 8 \ln (| x |) + C_{2}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$12 \ln (| y |) = - 8 \ln (| x |) + C$

Schritt 5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$12 \ln (| y |) + 8 \ln (| x |) = C$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache $12 \ln (| y |) + 8 \ln (| x |)$ .

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Schritt 5.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1.1

Vereinfache $12 \ln (| y |)$ , indem du $12$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln ({| y |}^{12}) + 8 \ln (| x |) = C$

Schritt 5.2.1.1.2

Entferne den Absolutwert in ${| y |}^{12}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$\ln (y^{12}) + 8 \ln (| x |) = C$

Schritt 5.2.1.1.3

Vereinfache $8 \ln (| x |)$ , indem du $8$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln (y^{12}) + \ln ({| x |}^{8}) = C$

Schritt 5.2.1.1.4

Entferne den Absolutwert in ${| x |}^{8}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$\ln (y^{12}) + \ln (x^{8}) = C$

Schritt 5.2.1.2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (y^{12} x^{8}) = C$

Schritt 5.3

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (y^{12} x^{8})} = e^{C}$

Schritt 5.4

Schreibe $\ln (y^{12} x^{8}) = C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{C} = y^{12} x^{8}$

Schritt 5.5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.5.1

Schreibe die Gleichung als $y^{12} x^{8} = e^{C}$ um.

$y^{12} x^{8} = e^{C}$

Schritt 5.5.2

Teile jeden Ausdruck in $y^{12} x^{8} = e^{C}$ durch $x^{8}$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $y^{12} x^{8} = e^{C}$ durch $x^{8}$ .

$\frac{y^{12} x^{8}}{x^{8}} = \frac{e^{C}}{x^{8}}$

Schritt 5.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{8}$ .

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Schritt 5.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{12} x^{8}}{x^{8}} = \frac{e^{C}}{x^{8}}$

Schritt 5.5.2.2.1.2

Dividiere $y^{12}$ durch $1$ .

$y^{12} = \frac{e^{C}}{x^{8}}$

Schritt 5.5.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt[12]{\frac{e^{C}}{x^{8}}}$

Schritt 5.5.4

Vereinfache $\pm \sqrt[12]{\frac{e^{C}}{x^{8}}}$ .

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Schritt 5.5.4.1

Schreibe $\sqrt[12]{\frac{e^{C}}{x^{8}}}$ als $\frac{\sqrt[12]{e^{C}}}{\sqrt[12]{x^{8}}}$ um.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}}}{\sqrt[12]{x^{8}}}$

Schritt 5.5.4.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.5.4.2.1

Schreibe $x^{8}$ als ${(x^{2})}^{4}$ um.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}}}{\sqrt[12]{{(x^{2})}^{4}}}$

Schritt 5.5.4.2.2

Schreibe $\sqrt[12]{{(x^{2})}^{4}}$ als $\sqrt[3]{\sqrt[4]{{(x^{2})}^{4}}}$ um.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}}}{\sqrt[3]{\sqrt[4]{{(x^{2})}^{4}}}}$

Schritt 5.5.4.2.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

Schritt 5.5.4.3

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[12]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

Schritt 5.5.4.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.5.4.4.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[12]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{\sqrt[3]{x^{2}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

Schritt 5.5.4.4.2

Potenziere $\sqrt[3]{x^{2}}$ mit $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{1} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

Schritt 5.5.4.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{1 + 2}}$

Schritt 5.5.4.4.4

Addiere $1$ und $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{3}}$

Schritt 5.5.4.4.5

Schreibe ${\sqrt[3]{x^{2}}}^{3}$ als $x^{2}$ um.

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Schritt 5.5.4.4.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x^{2}}$ als $x^{\frac{2}{3}}$ neu zu schreiben.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{3}}$

Schritt 5.5.4.4.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{2}{3} \cdot 3}}$

Schritt 5.5.4.4.5.3

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $3$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{2 \cdot 3}{3}}}$

Schritt 5.5.4.4.5.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{6}{3}}}$

Schritt 5.5.4.4.5.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $3$ .

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Schritt 5.5.4.4.5.5.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{3 \cdot 2}{3}}}$

Schritt 5.5.4.4.5.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.5.4.4.5.5.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{3 \cdot 2}{3 (1)}}}$

Schritt 5.5.4.4.5.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1}}}$

Schritt 5.5.4.4.5.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{2}{1}}}$

Schritt 5.5.4.4.5.5.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{2}}$

Schritt 5.5.4.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.5.4.5.1

Schreibe ${\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}$ als $\sqrt[3]{{(x^{2})}^{2}}$ um.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} \sqrt[3]{{(x^{2})}^{2}}}{x^{2}}$

Schritt 5.5.4.5.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 5.5.4.5.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} \sqrt[3]{x^{2 \cdot 2}}}{x^{2}}$

Schritt 5.5.4.5.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} \sqrt[3]{x^{4}}}{x^{2}}$

Schritt 5.5.4.5.3

Faktorisiere $x^{3}$ aus.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} \sqrt[3]{x^{3} x}}{x^{2}}$

Schritt 5.5.4.5.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} x \sqrt[3]{x}}{x^{2}}$

Schritt 5.5.4.5.5

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 5.5.4.5.5.1

Forme den Ausdruck um unter Verwendung des kleinsten gemeinsamen Index von $12$ .

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Schritt 5.5.4.5.5.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$y = \pm \frac{x (\sqrt[12]{e^{C}} x^{\frac{1}{3}})}{x^{2}}$

Schritt 5.5.4.5.5.1.2

Schreibe $x^{\frac{1}{3}}$ als $x^{\frac{4}{12}}$ um.

$y = \pm \frac{x (\sqrt[12]{e^{C}} x^{\frac{4}{12}})}{x^{2}}$

Schritt 5.5.4.5.5.1.3

Schreibe $x^{\frac{4}{12}}$ als $\sqrt[12]{x^{4}}$ um.

$y = \pm \frac{x (\sqrt[12]{e^{C}} \sqrt[12]{x^{4}})}{x^{2}}$

Schritt 5.5.4.5.5.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$y = \pm \frac{x \sqrt[12]{e^{C} x^{4}}}{x^{2}}$

Schritt 5.5.4.6

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.5.4.6.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

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Schritt 5.5.4.6.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x \sqrt[12]{e^{C} x^{4}}$ heraus.

$y = \pm \frac{x \sqrt[12]{e^{C} x^{4}}}{x^{2}}$

Schritt 5.5.4.6.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.5.4.6.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$y = \pm \frac{x \sqrt[12]{e^{C} x^{4}}}{x \cdot x}$

Schritt 5.5.4.6.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \pm \frac{x \sqrt[12]{e^{C} x^{4}}}{x \cdot x}$

Schritt 5.5.4.6.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C} x^{4}}}{x}$

Schritt 5.5.4.6.2

Stelle die Faktoren in $\pm \frac{\sqrt[12]{e^{C} x^{4}}}{x}$ um.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{x^{4} e^{C}}}{x}$

Schritt 5.5.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.5.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \frac{\sqrt[12]{x^{4} e^{C}}}{x}$

Schritt 5.5.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \frac{\sqrt[12]{x^{4} e^{C}}}{x}$

Schritt 5.5.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \frac{\sqrt[12]{x^{4} e^{C}}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt[12]{x^{4} e^{C}}}{x}$

$y = \frac{\sqrt[12]{x^{4} e^{C}}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt[12]{x^{4} e^{C}}}{x}$

$y = \frac{\sqrt[12]{x^{4} e^{C}}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt[12]{x^{4} e^{C}}}{x}$

$y = \frac{\sqrt[12]{x^{4} e^{C}}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt[12]{x^{4} e^{C}}}{x}$

Schritt 6

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{\sqrt[12]{x^{4} C}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt[12]{x^{4} C}}{x}$