Analysis Beispiele

$x y d x + (1 + x) (1 - y) d y = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $x y d x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$(1 + x) (1 - y) d y = - x y d x$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{(1 + x) y}$ .

$\frac{1}{(1 + x) y} ((1 + x) (1 - y)) d y = \frac{1}{(1 + x) y} (- x y) d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + x$ .

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $1 + x$ aus $(1 + x) y$ heraus.

$\frac{1}{(1 + x) (y)} ((1 + x) (1 - y)) d y = \frac{1}{(1 + x) y} (- x y) d x$

Schritt 3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{(1 + x) y} ((1 + x) (1 - y)) d y = \frac{1}{(1 + x) y} (- x y) d x$

Schritt 3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} (1 - y) d y = \frac{1}{(1 + x) y} (- x y) d x$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{y}$ mit $1 - y$ .

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{1}{(1 + x) y} (- x y) d x$

Schritt 3.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1 - y}{y} d y = - \frac{1}{(1 + x) y} (x y) d x$

Schritt 3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 3.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{(1 + x) y}$ in den Zähler.

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- 1}{(1 + x) y} (x y) d x$

Schritt 3.4.2

Faktorisiere $y$ aus $(1 + x) y$ heraus.

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- 1}{y (1 + x)} (x y) d x$

Schritt 3.4.3

Faktorisiere $y$ aus $x y$ heraus.

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- 1}{y (1 + x)} (y x) d x$

Schritt 3.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- 1}{y (1 + x)} (y x) d x$

Schritt 3.4.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- 1}{1 + x} x d x$

Schritt 3.5

Kombiniere $\frac{- 1}{1 + x}$ und $x$ .

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- x}{1 + x} d x$

Schritt 3.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1 - y}{y} d y = - \frac{x}{1 + x} d x$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

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Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1 - y}{y} d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Schritt 4.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

$\int \frac{1}{y} + \frac{- y}{y} d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Schritt 4.2.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{- y}{y} d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Schritt 4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 4.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{- y}{y} d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Schritt 4.2.3.2

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$\int \frac{1}{y} d y + \int - 1 d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Schritt 4.2.4

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} + \int - 1 d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Schritt 4.2.5

Wende die Konstantenregel an.

$\ln (| y |) + C_{1} - y + C_{2} = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Schritt 4.2.6

Vereinfache.

$\ln (| y |) - y + C_{3} = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Schritt 4.2.7

Stelle die Terme um.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Schritt 4.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int \frac{x}{1 + x} d x$

Schritt 4.3.2

Stelle $1$ und $x$ um.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int \frac{x}{x + 1} d x$

Schritt 4.3.3

Dividiere $x$ durch $x + 1$ .

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Schritt 4.3.3.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$x$

$0$

Schritt 4.3.3.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$1$
	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

Schritt 4.3.3.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$1$

Schritt 4.3.3.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x + 1$

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$

Schritt 4.3.3.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$
					-	$1$

Schritt 4.3.3.6

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int 1 - \frac{1}{x + 1} d x$

Schritt 4.3.4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (\int d x + \int - \frac{1}{x + 1} d x)$

Schritt 4.3.5

Wende die Konstantenregel an.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (x + C_{4} + \int - \frac{1}{x + 1} d x)$

Schritt 4.3.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (x + C_{4} - \int \frac{1}{x + 1} d x)$

Schritt 4.3.7

Sei $u = x + 1$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.3.7.1

Es sei $u = x + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.3.7.1.1

Differenziere $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 4.3.7.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 4.3.7.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 4.3.7.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 4.3.7.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 4.3.7.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (x + C_{4} - \int \frac{1}{u} d u)$

Schritt 4.3.8

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (x + C_{4} - (\ln (| u |) + C_{5}))$

Schritt 4.3.9

Vereinfache.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (x - \ln (| u |)) + C_{6}$

Schritt 4.3.10

Ersetze alle $u$ durch $x + 1$ .

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (x - \ln (| x + 1 |)) + C_{6}$

Schritt 4.3.11

Vereinfache.

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Schritt 4.3.11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - x - - \ln (| x + 1 |) + C_{6}$

Schritt 4.3.11.2

Multipliziere $- - \ln (| x + 1 |)$ .

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Schritt 4.3.11.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - x + 1 \ln (| x + 1 |) + C_{6}$

Schritt 4.3.11.2.2

Mutltipliziere $\ln (| x + 1 |)$ mit $1$ .

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - x + \ln (| x + 1 |) + C_{6}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$- y + \ln (| y |) = - x + \ln (| x + 1 |) + C$