Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} + y = \frac{1}{1 + e^{x}}$

Schritt 1

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = 1$ gilt.

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Schritt 1.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int d x}$

Schritt 1.2

Wende die Konstantenregel an.

$e^{x + C}$

Schritt 1.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{x}$

Schritt 2

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{x}$ .

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} \frac{1}{1 + e^{x}}$

Schritt 2.2

Kombiniere $e^{x}$ und $\frac{1}{1 + e^{x}}$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = \frac{e^{x}}{1 + e^{x}}$

Schritt 2.3

Stelle die Faktoren in $e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = \frac{e^{x}}{1 + e^{x}}$ um.

$e^{x} \frac{d y}{d x} + y e^{x} = \frac{e^{x}}{1 + e^{x}}$

Schritt 3

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [e^{x} y] = \frac{e^{x}}{1 + e^{x}}$

Schritt 4

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} y] d x = \int \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} d x$

Schritt 5

Integriere die linke Seite.

$e^{x} y = \int \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} d x$

Schritt 6

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 6.1

Sei $u = 1 + e^{x}$ . Dann ist $d u = e^{x} d x$ , folglich $\frac{1}{e^{x}} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 6.1.1

Es sei $u = 1 + e^{x}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 6.1.1.1

Differenziere $1 + e^{x}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

Schritt 6.1.1.2

Differenziere.

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Schritt 6.1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + e^{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 6.1.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 6.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$0 + e^{x}$

Schritt 6.1.1.4

Addiere $0$ und $e^{x}$ .

$e^{x}$

Schritt 6.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$e^{x} y = \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 6.2

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$e^{x} y = \ln (| u |) + C$

Schritt 6.3

Ersetze alle $u$ durch $1 + e^{x}$ .

$e^{x} y = \ln (| 1 + e^{x} |) + C$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $e^{x} y = \ln (| 1 + e^{x} |) + C$ durch $e^{x}$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{x} y = \ln (| 1 + e^{x} |) + C$ durch $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{\ln (| 1 + e^{x} |)}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{x}$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{\ln (| 1 + e^{x} |)}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\ln (| 1 + e^{x} |)}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{\ln (| 1 + e^{x} |) + C}{e^{x}}$