Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y + 4}{7 x + 5}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{3 y + 4}$ .

$\frac{1}{3 y + 4} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 y + 4} \cdot \frac{3 y + 4}{7 x + 5}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 y + 4$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3 y + 4} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 y + 4} \cdot \frac{3 y + 4}{7 x + 5}$

Schritt 1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3 y + 4} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{7 x + 5}$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{3 y + 4} d y = \frac{1}{7 x + 5} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{3 y + 4} d y = \int \frac{1}{7 x + 5} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Sei $u_{1} = 3 y + 4$ . Dann ist $d u_{1} = 3 d y$ , folglich $\frac{1}{3} d u_{1} = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Es sei $u_{1} = 3 y + 4$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Differenziere $3 y + 4$ .

$\frac{d}{d y} [3 y + 4]$

Schritt 2.2.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 y + 4$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [4]$ .

$\frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [4]$

Schritt 2.2.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [3 y]$ .

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Schritt 2.2.1.1.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $3 y$ nach $y$ gleich $3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$3 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [4]$

Schritt 2.2.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [4]$

Schritt 2.2.1.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 + \frac{d}{d y} [4]$

Schritt 2.2.1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.2.1.1.4.1

Da $4$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$3 + 0$

Schritt 2.2.1.1.4.2

Addiere $3$ und $0$ .

$3$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1} = \int \frac{1}{7 x + 5} d x$

Schritt 2.2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u_{1}}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 3} d u_{1} = \int \frac{1}{7 x + 5} d x$

Schritt 2.2.2.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{3 u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{7 x + 5} d x$

Schritt 2.2.3

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{7 x + 5} d x$

Schritt 2.2.4

Das Integral von $\frac{1}{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{1}{7 x + 5} d x$

Schritt 2.2.5

Vereinfache.

$\frac{1}{3} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{1}{7 x + 5} d x$

Schritt 2.2.6

Ersetze alle $u_{1}$ durch $3 y + 4$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 3 y + 4 |) + C_{1} = \int \frac{1}{7 x + 5} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Sei $u_{2} = 7 x + 5$ . Dann ist $d u_{2} = 7 d x$ , folglich $\frac{1}{7} d u_{2} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Es sei $u_{2} = 7 x + 5$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Differenziere $7 x + 5$ .

$\frac{d}{d x} [7 x + 5]$

Schritt 2.3.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $7 x + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 2.3.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

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Schritt 2.3.1.1.3.1

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 x$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 2.3.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 2.3.1.1.3.3

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$7 + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 2.3.1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.3.1.1.4.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$7 + 0$

Schritt 2.3.1.1.4.2

Addiere $7$ und $0$ .

$7$

Schritt 2.3.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\frac{1}{3} \ln (| 3 y + 4 |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{7} d u_{2}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u_{2}}$ mit $\frac{1}{7}$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 3 y + 4 |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2} \cdot 7} d u_{2}$

Schritt 2.3.2.2

Bringe $7$ auf die linke Seite von $u_{2}$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 3 y + 4 |) + C_{1} = \int \frac{1}{7 u_{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.3

Da $\frac{1}{7}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{7}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} \ln (| 3 y + 4 |) + C_{1} = \frac{1}{7} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.4

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 3 y + 4 |) + C_{1} = \frac{1}{7} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

$\frac{1}{3} \ln (| 3 y + 4 |) + C_{1} = \frac{1}{7} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Schritt 2.3.6

Ersetze alle $u_{2}$ durch $7 x + 5$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 3 y + 4 |) + C_{1} = \frac{1}{7} \ln (| 7 x + 5 |) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\frac{1}{3} \ln (| 3 y + 4 |) = \frac{1}{7} \ln (| 7 x + 5 |) + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $3$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 3 y + 4 |)) = 3 (\frac{1}{7} \ln (| 7 x + 5 |) + C)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $3 (\frac{1}{3} \ln (| 3 y + 4 |))$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $\ln (| 3 y + 4 |)$ .

$3 \frac{\ln (| 3 y + 4 |)}{3} = 3 (\frac{1}{7} \ln (| 7 x + 5 |) + C)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{\ln (| 3 y + 4 |)}{3} = 3 (\frac{1}{7} \ln (| 7 x + 5 |) + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| 3 y + 4 |) = 3 (\frac{1}{7} \ln (| 7 x + 5 |) + C)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $3 (\frac{1}{7} \ln (| 7 x + 5 |) + C)$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kombiniere $\frac{1}{7}$ und $\ln (| 7 x + 5 |)$ .

$\ln (| 3 y + 4 |) = 3 (\frac{\ln (| 7 x + 5 |)}{7} + C)$

Schritt 3.2.2.1.2

Um $C$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{7}{7}$ .

$\ln (| 3 y + 4 |) = 3 (\frac{\ln (| 7 x + 5 |)}{7} + C \cdot \frac{7}{7})$

Schritt 3.2.2.1.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.2.2.1.3.1

Kombiniere $C$ und $\frac{7}{7}$ .

$\ln (| 3 y + 4 |) = 3 (\frac{\ln (| 7 x + 5 |)}{7} + \frac{C \cdot 7}{7})$

Schritt 3.2.2.1.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\ln (| 3 y + 4 |) = 3 \frac{\ln (| 7 x + 5 |) + C \cdot 7}{7}$

Schritt 3.2.2.1.4

Bringe $7$ auf die linke Seite von $C$ .

$\ln (| 3 y + 4 |) = 3 \frac{\ln (| 7 x + 5 |) + 7 C}{7}$

Schritt 3.2.2.1.5

Kombiniere $3$ und $\frac{\ln (| 7 x + 5 |) + 7 C}{7}$ .

$\ln (| 3 y + 4 |) = \frac{3 (\ln (| 7 x + 5 |) + 7 C)}{7}$

Schritt 3.3

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| 3 y + 4 |)} = e^{\frac{3 (\ln (| 7 x + 5 |) + 7 C)}{7}}$

Schritt 3.4

Schreibe $\ln (| 3 y + 4 |) = \frac{3 (\ln (| 7 x + 5 |) + 7 C)}{7}$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{3 (\ln (| 7 x + 5 |) + 7 C)}{7}} = | 3 y + 4 |$

Schritt 3.5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.5.1

Schreibe die Gleichung als $| 3 y + 4 | = e^{\frac{3 (\ln (| 7 x + 5 |) + 7 C)}{7}}$ um.

$| 3 y + 4 | = e^{\frac{3 (\ln (| 7 x + 5 |) + 7 C)}{7}}$

Schritt 3.5.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$3 y + 4 = \pm e^{\frac{3 (\ln (| 7 x + 5 |) + 7 C)}{7}}$

Schritt 3.5.3

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 y = \pm e^{\frac{3 (\ln (| 7 x + 5 |) + 7 C)}{7}} - 4$

Schritt 3.5.4

Teile jeden Ausdruck in $3 y = \pm e^{\frac{3 (\ln (| 7 x + 5 |) + 7 C)}{7}} - 4$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y = \pm e^{\frac{3 (\ln (| 7 x + 5 |) + 7 C)}{7}} - 4$ durch $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{\pm e^{\frac{3 (\ln (| 7 x + 5 |) + 7 C)}{7}}}{3} + \frac{- 4}{3}$

Schritt 3.5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\pm e^{\frac{3 (\ln (| 7 x + 5 |) + 7 C)}{7}}}{3} + \frac{- 4}{3}$

Schritt 3.5.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{3 (\ln (| 7 x + 5 |) + 7 C)}{7}}}{3} + \frac{- 4}{3}$

Schritt 3.5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.4.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{\pm e^{\frac{3 (\ln (| 7 x + 5 |) + 7 C)}{7}}}{3} - \frac{4}{3}$

Schritt 3.5.4.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{\pm e^{\frac{3 (\ln (| 7 x + 5 |) + 7 C)}{7}} - 4}{3}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{\pm e^{\frac{3 (\ln (| 7 x + 5 |) + C)}{7}} - 4}{3}$