Analysis Beispiele

$t \frac{d x}{d t} + 2 x = 4 e^{t}$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d x}{d t} + M (t) x = Q (t)$ um.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $t \frac{d x}{d t} + 2 x = 4 e^{t}$ durch $t$ .

$\frac{t \frac{d x}{d t}}{t} + \frac{2 x}{t} = \frac{4 e^{t}}{t}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $t$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{t \frac{d x}{d t}}{t} + \frac{2 x}{t} = \frac{4 e^{t}}{t}$

Schritt 1.2.2

Dividiere $\frac{d x}{d t}$ durch $1$ .

$\frac{d x}{d t} + \frac{2 x}{t} = \frac{4 e^{t}}{t}$

Schritt 1.3

Faktorisiere $x$ aus $\frac{2 x}{t}$ heraus.

$\frac{d x}{d t} + x \frac{2}{t} = \frac{4 e^{t}}{t}$

Schritt 1.4

Stelle $x$ und $\frac{2}{t}$ um.

$\frac{d x}{d t} + \frac{2}{t} x = \frac{4 e^{t}}{t}$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (t) d t}$ , wobei $P (t) = \frac{2}{t}$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int \frac{2}{t} d t}$

Schritt 2.2

Integriere $\frac{2}{t}$ .

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Schritt 2.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$e^{2 \int \frac{1}{t} d t}$

Schritt 2.2.2

Das Integral von $\frac{1}{t}$ nach $t$ ist $\ln (| t |)$ .

$e^{2 (\ln (| t |) + C)}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache.

$e^{2 \ln (| t |) + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{2 \ln (t)}$

Schritt 2.4

Verwende die Potenzregel des Logarithmus.

$e^{\ln (t^{2})}$

Schritt 2.5

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$t^{2}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $t^{2}$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $t^{2}$ .

$t^{2} \frac{d x}{d t} + t^{2} (\frac{2}{t} x) = t^{2} \frac{4 e^{t}}{t}$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $\frac{2}{t}$ und $x$ .

$t^{2} \frac{d x}{d t} + t^{2} \frac{2 x}{t} = t^{2} \frac{4 e^{t}}{t}$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $t$ .

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Schritt 3.2.2.1

Faktorisiere $t$ aus $t^{2}$ heraus.

$t^{2} \frac{d x}{d t} + t \cdot t \frac{2 x}{t} = t^{2} \frac{4 e^{t}}{t}$

Schritt 3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$t^{2} \frac{d x}{d t} + t \cdot t \frac{2 x}{t} = t^{2} \frac{4 e^{t}}{t}$

Schritt 3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$t^{2} \frac{d x}{d t} + t (2 x) = t^{2} \frac{4 e^{t}}{t}$

Schritt 3.2.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$t^{2} \frac{d x}{d t} + 2 t x = t^{2} \frac{4 e^{t}}{t}$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $t$ .

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $t$ aus $t^{2}$ heraus.

$t^{2} \frac{d x}{d t} + 2 t x = t \cdot t \frac{4 e^{t}}{t}$

Schritt 3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$t^{2} \frac{d x}{d t} + 2 t x = t \cdot t \frac{4 e^{t}}{t}$

Schritt 3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$t^{2} \frac{d x}{d t} + 2 t x = t (4 e^{t})$

Schritt 3.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$t^{2} \frac{d x}{d t} + 2 t x = 4 t e^{t}$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d t} [t^{2} x] = 4 t e^{t}$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d t} [t^{2} x] d t = \int 4 t e^{t} d t$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$t^{2} x = \int 4 t e^{t} d t$

Schritt 7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Da $4$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$t^{2} x = 4 \int t e^{t} d t$

Schritt 7.2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = t$ und $d v = e^{t}$ .

$t^{2} x = 4 (t e^{t} - \int e^{t} d t)$

Schritt 7.3

Das Integral von $e^{t}$ nach $t$ ist $e^{t}$ .

$t^{2} x = 4 (t e^{t} - (e^{t} + C))$

Schritt 7.4

Vereinfache.

$t^{2} x = 4 (t e^{t} - e^{t}) + C$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $t^{2} x = 4 (t e^{t} - e^{t}) + C$ durch $t^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $t^{2} x = 4 (t e^{t} - e^{t}) + C$ durch $t^{2}$ .

$\frac{t^{2} x}{t^{2}} = \frac{4 (t e^{t} - e^{t})}{t^{2}} + \frac{C}{t^{2}}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $t^{2}$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{t^{2} x}{t^{2}} = \frac{4 (t e^{t} - e^{t})}{t^{2}} + \frac{C}{t^{2}}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{4 (t e^{t} - e^{t})}{t^{2}} + \frac{C}{t^{2}}$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{4 (t e^{t} - e^{t}) + C}{t^{2}}$

Schritt 8.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{4 (t e^{t}) + 4 (- e^{t}) + C}{t^{2}}$

Schritt 8.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$x = \frac{4 t e^{t} - 4 e^{t} + C}{t^{2}}$