Analysis Beispiele

$e^{2 x} \frac{d f}{d x} + e^{x} = 1$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Löse nach $\frac{d f}{d x}$ auf.

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Schritt 1.1.1

Stelle die Faktoren in $e^{2 x} \frac{d f}{d x} + e^{x}$ um.

$\frac{d f}{d x} e^{2 x} + e^{x} = 1$

Schritt 1.1.2

Subtrahiere $e^{x}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d f}{d x} e^{2 x} = 1 - e^{x}$

Schritt 1.1.3

Teile jeden Ausdruck in $\frac{d f}{d x} e^{2 x} = 1 - e^{x}$ durch $e^{2 x}$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.3.1

Teile jeden Ausdruck in $\frac{d f}{d x} e^{2 x} = 1 - e^{x}$ durch $e^{2 x}$ .

$\frac{\frac{d f}{d x} e^{2 x}}{e^{2 x}} = \frac{1}{e^{2 x}} + \frac{- e^{x}}{e^{2 x}}$

Schritt 1.1.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{2 x}$ .

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Schritt 1.1.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{d f}{d x} e^{2 x}}{e^{2 x}} = \frac{1}{e^{2 x}} + \frac{- e^{x}}{e^{2 x}}$

Schritt 1.1.3.2.1.2

Dividiere $\frac{d f}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d f}{d x} = \frac{1}{e^{2 x}} + \frac{- e^{x}}{e^{2 x}}$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $e^{x}$ und $e^{2 x}$ .

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Schritt 1.1.3.3.1.1

Faktorisiere $e^{2 x}$ aus $- e^{x}$ heraus.

$\frac{d f}{d x} = \frac{1}{e^{2 x}} + \frac{e^{2 x} (- e^{- x})}{e^{2 x}}$

Schritt 1.1.3.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.3.3.1.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{d f}{d x} = \frac{1}{e^{2 x}} + \frac{e^{2 x} (- e^{- x})}{e^{2 x} \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d f}{d x} = \frac{1}{e^{2 x}} + \frac{e^{2 x} (- e^{- x})}{e^{2 x} \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d f}{d x} = \frac{1}{e^{2 x}} + \frac{- e^{- x}}{1}$

Schritt 1.1.3.3.1.2.4

Dividiere $- e^{- x}$ durch $1$ .

$\frac{d f}{d x} = \frac{1}{e^{2 x}} - e^{- x}$

Schritt 1.2

Schreibe die Gleichung um.

$d f = (\frac{1}{e^{2 x}} - e^{- x}) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d f = \int \frac{1}{e^{2 x}} - e^{- x} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$f + C_{1} = \int \frac{1}{e^{2 x}} - e^{- x} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$f + C_{1} = \int \frac{1}{e^{2 x}} d x + \int - e^{- x} d x$

Schritt 2.3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.2.1

Kehre das Vorzeichen des Exponenten von $e^{2 x}$ um und ziehe es aus dem Nenner heraus.

$f + C_{1} = \int 1 {(e^{2 x})}^{- 1} d x + \int - e^{- x} d x$

Schritt 2.3.2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.2.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{2 x})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.3.2.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f + C_{1} = \int 1 e^{2 x \cdot - 1} d x + \int - e^{- x} d x$

Schritt 2.3.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f + C_{1} = \int 1 e^{- 2 x} d x + \int - e^{- x} d x$

Schritt 2.3.2.2.2

Mutltipliziere $e^{- 2 x}$ mit $1$ .

$f + C_{1} = \int e^{- 2 x} d x + \int - e^{- x} d x$

Schritt 2.3.3

Sei $u_{1} = - 2 x$ . Dann ist $d u_{1} = - 2 d x$ , folglich $- \frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 2.3.3.1

Es sei $u_{1} = - 2 x$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 2.3.3.1.1

Differenziere $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 2.3.3.1.2

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.3.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Schritt 2.3.3.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- 2$

Schritt 2.3.3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$f + C_{1} = \int e^{u_{1}} \frac{1}{- 2} d u_{1} + \int - e^{- x} d x$

Schritt 2.3.4

Vereinfache.

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Schritt 2.3.4.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f + C_{1} = \int e^{u_{1}} (- \frac{1}{2}) d u_{1} + \int - e^{- x} d x$

Schritt 2.3.4.2

Kombiniere $e^{u_{1}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$f + C_{1} = \int - \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} + \int - e^{- x} d x$

Schritt 2.3.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$f + C_{1} = - \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} + \int - e^{- x} d x$

Schritt 2.3.6

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$f + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int - e^{- x} d x$

Schritt 2.3.7

Das Integral von $e^{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $e^{u_{1}}$ .

$f + C_{1} = - \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) + \int - e^{- x} d x$

Schritt 2.3.8

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$f + C_{1} = - \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - \int e^{- x} d x$

Schritt 2.3.9

Sei $u_{2} = - x$ . Dann ist $d u_{2} = - d x$ , folglich $- d u_{2} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 2.3.9.1

Es sei $u_{2} = - x$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 2.3.9.1.1

Differenziere $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.3.9.1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.9.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Schritt 2.3.9.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 2.3.9.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$f + C_{1} = - \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - \int - e^{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.10

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$f + C_{1} = - \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - - \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.11

Vereinfache.

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Schritt 2.3.11.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f + C_{1} = - \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) + 1 \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.11.2

Mutltipliziere $\int e^{u_{2}} d u_{2}$ mit $1$ .

$f + C_{1} = - \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) + \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.12

Das Integral von $e^{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $e^{u_{2}}$ .

$f + C_{1} = - \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) + e^{u_{2}} + C_{3}$

Schritt 2.3.13

Vereinfache.

$f + C_{1} = - \frac{1}{2} e^{u_{1}} + e^{u_{2}} + C_{4}$

Schritt 2.3.14

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 2.3.14.1

Ersetze alle $u_{1}$ durch $- 2 x$ .

$f + C_{1} = - \frac{1}{2} e^{- 2 x} + e^{u_{2}} + C_{4}$

Schritt 2.3.14.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch $- x$ .

$f + C_{1} = - \frac{1}{2} e^{- 2 x} + e^{- x} + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$f = - \frac{1}{2} e^{- 2 x} + e^{- x} + K$