Analysis Beispiele

$x y + \frac{d y}{d x} = 100 x$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $x y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d y}{d x} = 100 x - x y$

Schritt 1.2

Faktorisiere.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $100 x - x y$ heraus.

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Schritt 1.2.1.1

Faktorisiere $x$ aus $100 x$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = x \cdot 100 - x y$

Schritt 1.2.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- x y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = x \cdot 100 + x (- 1 y)$

Schritt 1.2.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot 100 + x (- 1 y)$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = x (100 - 1 y)$

Schritt 1.2.2

Schreibe $- 1 y$ als $- y$ um.

$\frac{d y}{d x} = x (100 - y)$

Schritt 1.3

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{100 - y}$ .

$\frac{1}{100 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{100 - y} (x (100 - y))$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $100 - y$ .

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Schritt 1.4.1

Faktorisiere $100 - y$ aus $x (100 - y)$ heraus.

$\frac{1}{100 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{100 - y} ((100 - y) x)$

Schritt 1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{100 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{100 - y} ((100 - y) x)$

Schritt 1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{100 - y} \frac{d y}{d x} = x$

Schritt 1.5

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{100 - y} d y = x d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{100 - y} d y = \int x d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Sei $u = 100 - y$ . Dann ist $d u = - d y$ , folglich $- d u = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.2.1.1

Es sei $u = 100 - y$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Forme um.

$\frac{- 1}{1}$

Schritt 2.2.1.1.2

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$- 1$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int x d x$

Schritt 2.2.2

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

$\int - \frac{1}{u} d u = \int x d x$

Schritt 2.2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{1}{u} d u = \int x d x$

Schritt 2.2.4

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int x d x$

Schritt 2.2.5

Vereinfache.

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int x d x$

Schritt 2.2.6

Ersetze alle $u$ durch $100 - y$ .

$- \ln (| 100 - y |) + C_{1} = \int x d x$

Schritt 2.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \ln (| 100 - y |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$- \ln (| 100 - y |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $- \ln (| 100 - y |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $- \ln (| 100 - y |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$ durch $- 1$ .

$\frac{- \ln (| 100 - y |)}{- 1} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\ln (| 100 - y |)}{1} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Schritt 3.1.2.2

Dividiere $\ln (| 100 - y |)$ durch $1$ .

$\ln (| 100 - y |) = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Schritt 3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 1}$ .

$\ln (| 100 - y |) = - 1 \cdot (\frac{1}{2} x^{2}) + \frac{C}{- 1}$

Schritt 3.1.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot (\frac{1}{2} x^{2})$ als $- (\frac{1}{2} x^{2})$ um.

$\ln (| 100 - y |) = - (\frac{1}{2} x^{2}) + \frac{C}{- 1}$

Schritt 3.1.3.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$\ln (| 100 - y |) = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{C}{- 1}$

Schritt 3.1.3.1.4

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| 100 - y |) = - \frac{x^{2}}{2} - 1 \cdot C$

Schritt 3.1.3.1.5

Schreibe $- 1 \cdot C$ als $- C$ um.

$\ln (| 100 - y |) = - \frac{x^{2}}{2} - C$

Schritt 3.2

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| 100 - y |)} = e^{- \frac{x^{2}}{2} - C}$

Schritt 3.3

Schreibe $\ln (| 100 - y |) = - \frac{x^{2}}{2} - C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2} - C} = | 100 - y |$

Schritt 3.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.4.1

Schreibe die Gleichung als $| 100 - y | = e^{- \frac{x^{2}}{2} - C}$ um.

$| 100 - y | = e^{- \frac{x^{2}}{2} - C}$

Schritt 3.4.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$100 - y = \pm e^{- \frac{x^{2}}{2} - C}$

Schritt 3.4.3

Subtrahiere $100$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y = \pm e^{- \frac{x^{2}}{2} - C} - 100$

Schritt 3.4.4

Teile jeden Ausdruck in $- y = \pm e^{- \frac{x^{2}}{2} - C} - 100$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $- y = \pm e^{- \frac{x^{2}}{2} - C} - 100$ durch $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\pm e^{- \frac{x^{2}}{2} - C}}{- 1} + \frac{- 100}{- 1}$

Schritt 3.4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.4.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y}{1} = \frac{\pm e^{- \frac{x^{2}}{2} - C}}{- 1} + \frac{- 100}{- 1}$

Schritt 3.4.4.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\pm e^{- \frac{x^{2}}{2} - C}}{- 1} + \frac{- 100}{- 1}$

Schritt 3.4.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.4.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\pm e^{- \frac{x^{2}}{2} - C}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (\pm e^{- \frac{x^{2}}{2} - C}) + \frac{- 100}{- 1}$

Schritt 3.4.4.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot (\pm e^{- \frac{x^{2}}{2} - C})$ als $- (\pm e^{- \frac{x^{2}}{2} - C})$ um.

$y = - (\pm e^{- \frac{x^{2}}{2} - C}) + \frac{- 100}{- 1}$

Schritt 3.4.4.3.1.3

Dividiere $- 100$ durch $- 1$ .

$y = - (\pm e^{- \frac{x^{2}}{2} - C}) + 100$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 4.1

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = - (\pm e^{- \frac{x^{2}}{2} + C}) + 100$

Schritt 4.2

Schreibe $e^{- \frac{x^{2}}{2} + C}$ als $e^{- \frac{x^{2}}{2}} e^{C}$ um.

$y = - (\pm e^{- \frac{x^{2}}{2}} e^{C}) + 100$

Schritt 4.3

Stelle $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ und $e^{C}$ um.

$y = - (\pm e^{C} e^{- \frac{x^{2}}{2}}) + 100$

Schritt 4.4

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = - (C e^{- \frac{x^{2}}{2}}) + 100$