Analysis Beispiele

$2 \frac{d y}{d x} = 4 x e^{- x}$ , $y (0) = 5$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$2 d y = 4 x e^{- x} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int 2 d y = \int 4 x e^{- x} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$2 y + C_{1} = \int 4 x e^{- x} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$2 y + C_{1} = 4 \int x e^{- x} d x$

Schritt 2.3.2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = e^{- x}$ .

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x)$

Schritt 2.3.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x)$

Schritt 2.3.4

Vereinfache.

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Schritt 2.3.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x)$

Schritt 2.3.4.2

Mutltipliziere $\int e^{- x} d x$ mit $1$ .

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x)$

Schritt 2.3.5

Sei $u = - x$ . Dann ist $d u = - d x$ , folglich $- d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.5.1

Es sei $u = - x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.3.5.1.1

Differenziere $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.3.5.1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Schritt 2.3.5.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 2.3.5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u)$

Schritt 2.3.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u)$

Schritt 2.3.7

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C_{2}))$

Schritt 2.3.8

Schreibe $4 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C_{2}))$ als $4 (- x e^{- x} - e^{u}) + C_{2}$ um.

$2 y + C_{1} = 4 (- x e^{- x} - e^{u}) + C_{2}$

Schritt 2.3.9

Ersetze alle $u$ durch $- x$ .

$2 y + C_{1} = 4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$2 y = 4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + K$

Schritt 3

Teile jeden Ausdruck in $2 y = 4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + K$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y = 4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + K$ durch $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{4 (- x e^{- x} - e^{- x})}{2} + \frac{K}{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y}{2} = \frac{4 (- x e^{- x} - e^{- x})}{2} + \frac{K}{2}$

Schritt 3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{4 (- x e^{- x} - e^{- x})}{2} + \frac{K}{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + K}{2}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{4 (- x e^{- x}) + 4 (- e^{- x}) + K}{2}$

Schritt 3.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$y = \frac{- 4 (x e^{- x}) + 4 (- e^{- x}) + K}{2}$

Schritt 3.3.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$y = \frac{- 4 x e^{- x} - 4 e^{- x} + K}{2}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 3.3.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 4 x e^{- x}$ heraus.

$y = \frac{- (4 x e^{- x}) - 4 e^{- x} + K}{2}$

Schritt 3.3.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 4 e^{- x}$ heraus.

$y = \frac{- (4 x e^{- x}) - (4 e^{- x}) + K}{2}$

Schritt 3.3.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (4 x e^{- x}) - (4 e^{- x})$ heraus.

$y = \frac{- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x}) + K}{2}$

Schritt 3.3.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $K$ heraus.

$y = \frac{- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x}) - 1 (- K)}{2}$

Schritt 3.3.3.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x}) - 1 (- K)$ heraus.

$y = \frac{- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - K)}{2}$

Schritt 3.3.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.3.6.1

Schreibe $- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - K)$ als $- 1 (4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - K)$ um.

$y = \frac{- 1 (4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - K)}{2}$

Schritt 3.3.3.6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - K}{2}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = - \frac{4 x e^{- x} + 4 e^{- x} + K}{2}$

Schritt 5

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $0$ für $x$ und $5$ für $y$ in $y = - \frac{4 x e^{- x} + 4 e^{- x} + K}{2}$ ersetzt wird.

$5 = - \frac{4 \cdot 0 e^{- 0} + 4 e^{0} + K}{2}$

Schritt 6

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als $- \frac{4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K}{2} = 5$ um.

$- \frac{4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K}{2} = 5$

Schritt 6.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- 2$ .

$- 2 (- \frac{4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K}{2}) = - 2 \cdot 5$

Schritt 6.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 6.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.1.1

Vereinfache $- 2 (- \frac{4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K}{2})$ .

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Schritt 6.3.1.1.1

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.3.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.1.1.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K}{2}$ in den Zähler.

$- 2 \frac{- (4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K)}{2} = - 2 \cdot 5$

Schritt 6.3.1.1.1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$2 (- 1) \frac{- (4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K)}{2} = - 2 \cdot 5$

Schritt 6.3.1.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot - 1 \frac{- (4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K)}{2} = - 2 \cdot 5$

Schritt 6.3.1.1.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$- - (4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K) = - 2 \cdot 5$

Schritt 6.3.1.1.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.3.1.1.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$- - (4 \cdot (0 e^{0}) + 4 e^{0} + K) = - 2 \cdot 5$

Schritt 6.3.1.1.1.2.2

Multipliziere mit null.

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Schritt 6.3.1.1.1.2.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $e^{0}$ .

$- - (4 \cdot 0 + 4 e^{0} + K) = - 2 \cdot 5$

Schritt 6.3.1.1.1.2.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$- - (0 + 4 e^{0} + K) = - 2 \cdot 5$

Schritt 6.3.1.1.1.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (0 + 4 e^{0} + K) = - 2 \cdot 5$

Schritt 6.3.1.1.1.2.4

Mutltipliziere $0 + 4 e^{0} + K$ mit $1$ .

$0 + 4 e^{0} + K = - 2 \cdot 5$

Schritt 6.3.1.1.1.2.5

Addiere $0$ und $4 e^{0}$ .

$4 e^{0} + K = - 2 \cdot 5$

Schritt 6.3.1.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.1.1.2.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$4 \cdot 1 + K = - 2 \cdot 5$

Schritt 6.3.1.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4 + K = - 2 \cdot 5$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $5$ .

$4 + K = - 10$

Schritt 6.4

Bringe alle Terme, die nicht $K$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.4.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$K = - 10 - 4$

Schritt 6.4.2

Subtrahiere $4$ von $- 10$ .

$K = - 14$

Schritt 7

Setze $- 14$ für $K$ in $y = - \frac{4 x e^{- x} + 4 e^{- x} + K}{2}$ ein und vereinfache.

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Schritt 7.1

Ersetze $K$ durch $- 14$ .

$y = - \frac{4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - 14}{2}$

Schritt 7.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - 14$ und $2$ .

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Schritt 7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x e^{- x}$ heraus.

$y = - \frac{2 (2 x e^{- x}) + 4 e^{- x} - 14}{2}$

Schritt 7.2.2

Faktorisiere $2$ aus $4 e^{- x}$ heraus.

$y = - \frac{2 (2 x e^{- x}) + 2 (2 e^{- x}) - 14}{2}$

Schritt 7.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 x e^{- x}) + 2 (2 e^{- x})$ heraus.

$y = - \frac{2 (2 x e^{- x} + 2 e^{- x}) - 14}{2}$

Schritt 7.2.4

Faktorisiere $2$ aus $- 14$ heraus.

$y = - \frac{2 (2 x e^{- x} + 2 e^{- x}) + 2 \cdot - 7}{2}$

Schritt 7.2.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 x e^{- x} + 2 e^{- x}) + 2 (- 7)$ heraus.

$y = - \frac{2 (2 x e^{- x} + 2 e^{- x} - 7)}{2}$

Schritt 7.2.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.6.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$y = - \frac{2 (2 x e^{- x} + 2 e^{- x} - 7)}{2 (1)}$

Schritt 7.2.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - \frac{2 (2 x e^{- x} + 2 e^{- x} - 7)}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.6.3

Forme den Ausdruck um.

$y = - \frac{2 x e^{- x} + 2 e^{- x} - 7}{1}$

Schritt 7.2.6.4

Dividiere $2 x e^{- x} + 2 e^{- x} - 7$ durch $1$ .

$y = - (2 x e^{- x} + 2 e^{- x} - 7)$

Schritt 7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - (2 x e^{- x}) - (2 e^{- x}) - - 7$

Schritt 7.4

Vereinfache.

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Schritt 7.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y = - 2 (x e^{- x}) - (2 e^{- x}) - - 7$

Schritt 7.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y = - 2 (x e^{- x}) - 2 e^{- x} - - 7$

Schritt 7.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 7$ .

$y = - 2 (x e^{- x}) - 2 e^{- x} + 7$

$y = - 2 x e^{- x} - 2 e^{- x} + 7$