Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $1 + y^{2}$ .

$(1 + y^{2}) \frac{d y}{d x} = (1 + y^{2}) \frac{1}{1 + y^{2}}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + y^{2}$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(1 + y^{2}) \frac{d y}{d x} = (1 + y^{2}) \frac{1}{1 + y^{2}}$

Schritt 1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$(1 + y^{2}) \frac{d y}{d x} = 1$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$(1 + y^{2}) d y = 1 d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int 1 + y^{2} d y = \int d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int d y + \int y^{2} d y = \int d x$

Schritt 2.2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} + \int y^{2} d y = \int d x$

Schritt 2.2.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{2}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$y + C_{1} + \frac{1}{3} y^{3} + C_{2} = \int d x$

Schritt 2.2.4

Vereinfache.

$y + \frac{1}{3} y^{3} + C_{3} = \int d x$

Schritt 2.2.5

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{3} y^{3} + y + C_{3} = \int d x$

Schritt 2.3

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{3} y^{3} + y + C_{3} = x + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{3} y^{3} + y = x + K$