Analysis Beispiele

$y^{- 1} d y + y e^{\cos (x)} \sin (x) d x = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $y e^{\cos (x)} \sin (x) d x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{- 1} d y = - y e^{\cos (x)} \sin (x) d x$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} y^{- 1} d y = \frac{1}{y} (- y e^{\cos (x)} \sin (x)) d x$

Schritt 3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{y} \cdot \frac{1}{y} d y = \frac{1}{y} (- y e^{\cos (x)} \sin (x)) d x$

Schritt 3.2

Multipliziere $\frac{1}{y} \cdot \frac{1}{y}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{y}$ mit $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y \cdot y} d y = \frac{1}{y} (- y e^{\cos (x)} \sin (x)) d x$

Schritt 3.2.2

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{1}{y^{1} y} d y = \frac{1}{y} (- y e^{\cos (x)} \sin (x)) d x$

Schritt 3.2.3

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{1}{y^{1} y^{1}} d y = \frac{1}{y} (- y e^{\cos (x)} \sin (x)) d x$

Schritt 3.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{y^{1 + 1}} d y = \frac{1}{y} (- y e^{\cos (x)} \sin (x)) d x$

Schritt 3.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{1}{y} (- y e^{\cos (x)} \sin (x)) d x$

Schritt 3.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{y^{2}} d y = - \frac{1}{y} (y e^{\cos (x)} \sin (x)) d x$

Schritt 3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{y}$ in den Zähler.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 1}{y} (y e^{\cos (x)} \sin (x)) d x$

Schritt 3.4.2

Faktorisiere $y$ aus $y e^{\cos (x)} \sin (x)$ heraus.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 1}{y} (y (e^{\cos (x)} \sin (x))) d x$

Schritt 3.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 1}{y} (y (e^{\cos (x)} \sin (x))) d x$

Schritt 3.4.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y^{2}} d y = - (e^{\cos (x)} \sin (x)) d x$

$\frac{1}{y^{2}} d y = - e^{\cos (x)} \sin (x) d x$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int - e^{\cos (x)} \sin (x) d x$

Schritt 4.2

Integriere die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.1

Bringe $y^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int - e^{\cos (x)} \sin (x) d x$

Schritt 4.2.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int - e^{\cos (x)} \sin (x) d x$

Schritt 4.2.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int - e^{\cos (x)} \sin (x) d x$

Schritt 4.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{- 2}$ nach $y$ gleich $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int - e^{\cos (x)} \sin (x) d x$

Schritt 4.2.3

Schreibe $- y^{- 1} + C_{1}$ als $- \frac{1}{y} + C_{1}$ um.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int - e^{\cos (x)} \sin (x) d x$

Schritt 4.3

Integriere die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int e^{\cos (x)} \sin (x) d x$

Schritt 4.3.2

Sei $u = \cos (x)$ . Dann ist $d u = - \sin (x) d x$ , folglich $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.1

Es sei $u = \cos (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.1.1

Differenziere $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 4.3.2.1.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Schritt 4.3.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int - e^{u} d u$

Schritt 4.3.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - - \int e^{u} d u$

Schritt 4.3.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 1 \int e^{u} d u$

Schritt 4.3.4.2

Mutltipliziere $\int e^{u} d u$ mit $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int e^{u} d u$

Schritt 4.3.5

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = e^{u} + C_{2}$

Schritt 4.3.6

Ersetze alle $u$ durch $\cos (x)$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = e^{\cos (x)} + C_{2}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$- \frac{1}{y} = e^{\cos (x)} + K$

Schritt 5

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$y, 1, 1$

Schritt 5.1.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$y$

Schritt 5.2

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{y} = e^{\cos (x)} + K$ mit $y$ um die Brüche zu eliminieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{y} = e^{\cos (x)} + K$ mit $y$ .

$- \frac{1}{y} y = e^{\cos (x)} y + K y$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{y}$ in den Zähler.

$\frac{- 1}{y} y = e^{\cos (x)} y + K y$

Schritt 5.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{y} y = e^{\cos (x)} y + K y$

Schritt 5.2.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- 1 = e^{\cos (x)} y + K y$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.1

Stelle die Faktoren in $e^{\cos (x)} y + K y$ um.

$- 1 = y e^{\cos (x)} + K y$

Schritt 5.3

Löse die Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Schreibe die Gleichung als $y e^{\cos (x)} + K y = - 1$ um.

$y e^{\cos (x)} + K y = - 1$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $y$ aus $y e^{\cos (x)} + K y$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1

Faktorisiere $y$ aus $K y$ heraus.

$y e^{\cos (x)} + y K = - 1$

Schritt 5.3.2.2

Faktorisiere $y$ aus $y e^{\cos (x)} + y K$ heraus.

$y (e^{\cos (x)} + K) = - 1$

Schritt 5.3.3

Teile jeden Ausdruck in $y (e^{\cos (x)} + K) = - 1$ durch $e^{\cos (x)} + K$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y (e^{\cos (x)} + K) = - 1$ durch $e^{\cos (x)} + K$ .

$\frac{y (e^{\cos (x)} + K)}{e^{\cos (x)} + K} = \frac{- 1}{e^{\cos (x)} + K}$

Schritt 5.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{\cos (x)} + K$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (e^{\cos (x)} + K)}{e^{\cos (x)} + K} = \frac{- 1}{e^{\cos (x)} + K}$

Schritt 5.3.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 1}{e^{\cos (x)} + K}$

Schritt 5.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{1}{e^{\cos (x)} + K}$