Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} + y = y x e^{x + 2}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d y}{d x} = y x e^{x + 2} - y$

Schritt 1.2

Faktorisiere $y$ aus $y x e^{x + 2} - y$ heraus.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $y$ aus $y x e^{x + 2}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = y (x e^{x + 2}) - y$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $y$ aus $- y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = y (x e^{x + 2}) + y \cdot - 1$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere $y$ aus $y (x e^{x + 2}) + y \cdot - 1$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = y (x e^{x + 2} - 1)$

Schritt 1.3

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (x e^{x + 2} - 1))$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (x e^{x + 2} - 1))$

Schritt 1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = x e^{x + 2} - 1$

Schritt 1.5

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y} d y = (x e^{x + 2} - 1) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y} d y = \int x e^{x + 2} - 1 d x$

Schritt 2.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x e^{x + 2} - 1 d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x e^{x + 2} d x + \int - 1 d x$

Schritt 2.3.2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = e^{x + 2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x e^{x + 2} - \int e^{x + 2} d x + \int - 1 d x$

Schritt 2.3.3

Sei $u = x + 2$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.3.1

Es sei $u = x + 2$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.3.3.1.1

Differenziere $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Schritt 2.3.3.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.3.3.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.3.3.1.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 2.3.3.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 2.3.3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\ln (| y |) + C_{1} = x e^{x + 2} - \int e^{u} d u + \int - 1 d x$

Schritt 2.3.4

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x e^{x + 2} - (e^{u} + C_{2}) + \int - 1 d x$

Schritt 2.3.5

Wende die Konstantenregel an.

$\ln (| y |) + C_{1} = x e^{x + 2} - (e^{u} + C_{2}) - x + C_{3}$

Schritt 2.3.6

Vereinfache.

$\ln (| y |) + C_{1} = x e^{x + 2} - e^{u} - x + C_{4}$

Schritt 2.3.7

Ersetze alle $u$ durch $x + 2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x e^{x + 2} - e^{x + 2} - x + C_{4}$

Schritt 2.3.8

Stelle die Terme um.

$\ln (| y |) + C_{1} = e^{x + 2} x - x - e^{x + 2} + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y |) = e^{x + 2} x - x - e^{x + 2} + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| y |)} = e^{e^{x + 2} x - x - e^{x + 2} + C}$

Schritt 3.2

Schreibe $\ln (| y |) = e^{x + 2} x - x - e^{x + 2} + C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{e^{x + 2} x - x - e^{x + 2} + C} = | y |$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Schreibe die Gleichung als $| y | = e^{e^{x + 2} x - x - e^{x + 2} + C}$ um.

$| y | = e^{e^{x + 2} x - x - e^{x + 2} + C}$

Schritt 3.3.2

Stelle die Faktoren in $e^{e^{x + 2} x - x - e^{x + 2} + C}$ um.

$| y | = e^{x e^{x + 2} - x - e^{x + 2} + C}$

Schritt 3.3.3

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{x e^{x + 2} - x - e^{x + 2} + C}$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 4.1

Schreibe $e^{x e^{x + 2} - x - e^{x + 2} + C}$ als $e^{x e^{x + 2} - x - e^{x + 2}} e^{C}$ um.

$y = \pm e^{x e^{x + 2} - x - e^{x + 2}} e^{C}$

Schritt 4.2

Stelle $e^{x e^{x + 2} - x - e^{x + 2}}$ und $e^{C}$ um.

$y = \pm e^{C} e^{x e^{x + 2} - x - e^{x + 2}}$

Schritt 4.3

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = C e^{x e^{x + 2} - x - e^{x + 2}}$