Analysis Beispiele

$y \frac{d y}{d x} = \frac{a}{{(1 + \frac{x}{b})}^{2}}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$y d y = \frac{a}{{(1 + \frac{x}{b})}^{2}} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int y d y = \int \frac{a}{{(1 + \frac{x}{b})}^{2}} d x$

Schritt 2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{a}{{(1 + \frac{x}{b})}^{2}} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $a$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $a$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a \int \frac{1}{{(1 + \frac{x}{b})}^{2}} d x$

Schritt 2.3.2

Sei $u = 1 + \frac{x}{b}$ . Dann ist $d u = \frac{1}{b} d x$ , folglich $b d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.2.1

Es sei $u = 1 + \frac{x}{b}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Differenziere $1 + \frac{x}{b}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + \frac{x}{b}]$

Schritt 2.3.2.1.2

Differenziere.

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Schritt 2.3.2.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + \frac{x}{b}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{b}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{b}]$

Schritt 2.3.2.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{x}{b}]$

Schritt 2.3.2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{x}{b}]$ .

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Schritt 2.3.2.1.3.1

Da $\frac{1}{b}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{b}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{b} \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + \frac{1}{b} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + \frac{1}{b} \cdot 1$

Schritt 2.3.2.1.3.3

Mutltipliziere $\frac{1}{b}$ mit $1$ .

$0 + \frac{1}{b}$

Schritt 2.3.2.1.4

Addiere $0$ und $\frac{1}{b}$ .

$\frac{1}{b}$

Schritt 2.3.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a \int \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{b}} d u$

Schritt 2.3.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.1

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{b}$ zu dividieren.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a \int \frac{1}{u^{2}} (1 b) d u$

Schritt 2.3.3.2

Mutltipliziere $b$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a \int \frac{1}{u^{2}} b d u$

Schritt 2.3.3.3

Kombiniere $\frac{1}{u^{2}}$ und $b$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a \int \frac{b}{u^{2}} d u$

Schritt 2.3.4

Da $b$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $b$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a (b \int \frac{1}{u^{2}} d u)$

Schritt 2.3.5

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.3.5.1

Bringe $u^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a b \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Schritt 2.3.5.2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.3.5.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a b \int u^{2 \cdot - 1} d u$

Schritt 2.3.5.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a b \int u^{- 2} d u$

Schritt 2.3.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- 2}$ nach $u$ gleich $- u^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a b (- u^{- 1} + C_{2})$

Schritt 2.3.7

Vereinfache.

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Schritt 2.3.7.1

Schreibe $a b (- u^{- 1} + C_{2})$ als $a b (- \frac{1}{u}) + C_{2}$ um.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a b (- \frac{1}{u}) + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.7.2.1

Kombiniere $a$ und $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = b (- \frac{a}{u}) + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2.2

Kombiniere $b$ und $\frac{a}{u}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{b a}{u} + C_{2}$

Schritt 2.3.8

Ersetze alle $u$ durch $1 + \frac{x}{b}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{b a}{1 + \frac{x}{b}} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{b a}{1 + \frac{x}{b}} + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{b a}{1 + \frac{x}{b}} + K)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{b a}{1 + \frac{x}{b}} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{b a}{1 + \frac{x}{b}} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} = 2 (- \frac{b a}{1 + \frac{x}{b}} + K)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $2 (- \frac{b a}{1 + \frac{x}{b}} + K)$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.2.1.1.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.2.2.1.1.1.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$y^{2} = 2 (- \frac{b a}{\frac{b}{b} + \frac{x}{b}} + K)$

Schritt 3.2.2.1.1.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y^{2} = 2 (- \frac{b a}{\frac{b + x}{b}} + K)$

Schritt 3.2.2.1.1.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y^{2} = 2 (- (b a \frac{b}{b + x}) + K)$

Schritt 3.2.2.1.1.3

Multipliziere $b a \frac{b}{b + x}$ .

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Schritt 3.2.2.1.1.3.1

Kombiniere $b$ und $\frac{b}{b + x}$ .

$y^{2} = 2 (- (a \frac{b \cdot b}{b + x}) + K)$

Schritt 3.2.2.1.1.3.2

Potenziere $b$ mit $1$ .

$y^{2} = 2 (- (a \frac{b^{1} b}{b + x}) + K)$

Schritt 3.2.2.1.1.3.3

Potenziere $b$ mit $1$ .

$y^{2} = 2 (- (a \frac{b^{1} b^{1}}{b + x}) + K)$

Schritt 3.2.2.1.1.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y^{2} = 2 (- (a \frac{b^{1 + 1}}{b + x}) + K)$

Schritt 3.2.2.1.1.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$y^{2} = 2 (- (a \frac{b^{2}}{b + x}) + K)$

Schritt 3.2.2.1.1.3.6

Kombiniere $a$ und $\frac{b^{2}}{b + x}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{a b^{2}}{b + x} + K)$

Schritt 3.2.2.1.2

Um $K$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{b + x}{b + x}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{a b^{2}}{b + x} + \frac{K (b + x)}{b + x})$

Schritt 3.2.2.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y^{2} = 2 \frac{- a b^{2} + K (b + x)}{b + x}$

Schritt 3.2.2.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} = 2 \frac{- a b^{2} + K b + K x}{b + x}$

Schritt 3.2.2.1.5

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.2.2.1.5.1

Kombiniere $2$ und $\frac{- a b^{2} + K b + K x}{b + x}$ .

$y^{2} = \frac{2 (- a b^{2} + K b + K x)}{b + x}$

Schritt 3.2.2.1.5.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- a b^{2}$ heraus.

$y^{2} = \frac{2 (- (a b^{2}) + K b + K x)}{b + x}$

Schritt 3.2.2.1.5.3

Faktorisiere $- 1$ aus $K b$ heraus.

$y^{2} = \frac{2 (- (a b^{2}) - (- K b) + K x)}{b + x}$

Schritt 3.2.2.1.5.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (a b^{2}) - (- K b)$ heraus.

$y^{2} = \frac{2 (- (a b^{2} - K b) + K x)}{b + x}$

Schritt 3.2.2.1.5.5

Faktorisiere $- 1$ aus $K x$ heraus.

$y^{2} = \frac{2 (- (a b^{2} - K b) - (- K x))}{b + x}$

Schritt 3.2.2.1.5.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (a b^{2} - K b) - (- K x)$ heraus.

$y^{2} = \frac{2 (- (a b^{2} - K b - K x))}{b + x}$

Schritt 3.2.2.1.5.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.2.1.5.7.1

Schreibe $- (a b^{2} - K b - K x)$ als $- 1 (a b^{2} - K b - K x)$ um.

$y^{2} = \frac{2 (- 1 (a b^{2} - K b - K x))}{b + x}$

Schritt 3.2.2.1.5.7.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y^{2} = - \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}$

Schritt 3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

Schritt 3.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

Schritt 3.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

Schritt 3.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

$y = - \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

$y = \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

$y = - \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

$y = \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

$y = - \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} + K b + K x)}{b + x}}$

$y = - \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} + K b + K x)}{b + x}}$