Analysis Beispiele

$(y - x) d x + (x + y) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = y - x$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y - x]$

Schritt 1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y - x$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \frac{d}{d y} [- x]$

Schritt 1.4

Da $- x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- x$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + 0$

Schritt 1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = x + y$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x + y]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.4

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0$

Schritt 2.5

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $1$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $1$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$1 = 1$

Schritt 3.2

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$1 = 1$ ist eine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y - x d x$

Schritt 5

Integriere $M (x, y) = y - x$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 5.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$f (x, y) = \int y d x + \int - x d x$

Schritt 5.2

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = y x + C + \int - x d x$

Schritt 5.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$f (x, y) = y x + C - \int x d x$

Schritt 5.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = y x + C - (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 5.5

Vereinfache.

$f (x, y) = y x - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 6

Da das Integral von $g (y)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (y)$ ersetzen.

$f (x, y) = y x - \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$

Schritt 7

Setze $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x + y$

Schritt 8

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Schritt 8.1

Differenziere $f$ nach $y$ .

$\frac{d}{d y} [y x - \frac{1}{2} x^{2} + g (y)] = x + y$

Schritt 8.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y x - \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y$

Schritt 8.3

Berechne $\frac{d}{d y} [y x]$ .

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Schritt 8.3.1

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $y x$ nach $y$ gleich $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y$

Schritt 8.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y$

Schritt 8.3.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x + \frac{d}{d y} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y$

Schritt 8.4

Da $- \frac{1}{2} x^{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{1}{2} x^{2}$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$x + 0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y$

Schritt 8.5

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (y)$ $\frac{d g}{d y}$ ist.

$x + 0 + \frac{d g}{d y} = x + y$

Schritt 8.6

Vereinfache.

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Schritt 8.6.1

Addiere $x$ und $0$ .

$x + \frac{d g}{d y} = x + y$

Schritt 8.6.2

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d y} + x = x + y$

Schritt 9

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

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Schritt 9.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d y}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 9.1.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} = x + y - x$

Schritt 9.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + y - x$ .

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Schritt 9.1.2.1

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$\frac{d g}{d y} = y + 0$

Schritt 9.1.2.2

Addiere $y$ und $0$ .

$\frac{d g}{d y} = y$

Schritt 10

Bestimme die Stammfunktion von $y$ , um $g (y)$ zu finden.

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Schritt 10.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d y} = y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y d y$

Schritt 10.2

Berechne $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int y d y$

Schritt 10.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y^{2} + C$

Schritt 11

Setze $g (y)$ in $f (x, y) = y x - \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$ ein.

$f (x, y) = y x - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} y^{2} + C$

Schritt 12

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = y x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} y^{2} + C$

Schritt 12.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$f (x, y) = y x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{2} + C$