Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} + y \tan (x) = \sin (2 x)$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ um.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $y$ aus $y \tan (x)$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + y (\tan (x)) = \sin (2 x)$

Schritt 1.2

Stelle $y$ und $\tan (x)$ um.

$\frac{d y}{d x} + \tan (x) y = \sin (2 x)$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = \tan (x)$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int \tan (x) d x}$

Schritt 2.2

Das Integral von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\ln (| \sec (x) |)$ .

$e^{\ln (| \sec (x) |) + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{\ln (\sec (x))}$

Schritt 2.4

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$\sec (x)$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\sec (x)$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\sec (x)$ .

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \sec (x) (\tan (x) y) = \sec (x) \sin (2 x)$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{1}{\cos (x)} \frac{d y}{d x} + \sec (x) (\tan (x) y) = \sec (x) \sin (2 x)$

Schritt 3.2.2

Kombiniere $\frac{1}{\cos (x)}$ und $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \sec (x) (\tan (x) y) = \sec (x) \sin (2 x)$

Schritt 3.2.3

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (\tan (x) y) = \sec (x) \sin (2 x)$

Schritt 3.2.4

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} y) = \sec (x) \sin (2 x)$

Schritt 3.2.5

Kombiniere $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ und $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x) y}{\cos (x)} = \sec (x) \sin (2 x)$

Schritt 3.2.6

Multipliziere $\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x) y}{\cos (x)}$ .

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Schritt 3.2.6.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\cos (x)}$ mit $\frac{\sin (x) y}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos (x) \cos (x)} = \sec (x) \sin (2 x)$

Schritt 3.2.6.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{1} (x) \cos (x)} = \sec (x) \sin (2 x)$

Schritt 3.2.6.3

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} = \sec (x) \sin (2 x)$

Schritt 3.2.6.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{{\cos (x)}^{1 + 1}} = \sec (x) \sin (2 x)$

Schritt 3.2.6.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \sec (x) \sin (2 x)$

Schritt 3.3

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{1}{\cos (x)} \sin (2 x)$

Schritt 3.4

Kombiniere $\frac{1}{\cos (x)}$ und $\sin (2 x)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{\sin (2 x)}{\cos (x)}$

Schritt 3.5

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{2 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)}$

Schritt 3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 3.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{2 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)}$

Schritt 3.6.2

Dividiere $2 \sin (x)$ durch $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = 2 \sin (x)$

Schritt 3.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.7.1

Separiere Brüche.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = 2 \sin (x)$

Schritt 3.7.2

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{1} \sec (x) + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = 2 \sin (x)$

Schritt 3.7.3

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = 2 \sin (x)$

Schritt 3.7.4

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos^{2} (x)$ heraus.

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{\sin (x) y}{\cos (x) \cos (x)} = 2 \sin (x)$

Schritt 3.7.5

Separiere Brüche.

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{y}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = 2 \sin (x)$

Schritt 3.7.6

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{y}{\cos (x)} \tan (x) = 2 \sin (x)$

Schritt 3.7.7

Separiere Brüche.

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{y}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} \tan (x) = 2 \sin (x)$

Schritt 3.7.8

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{y}{1} \sec (x) \tan (x) = 2 \sin (x)$

Schritt 3.7.9

Dividiere $y$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + y \sec (x) \tan (x) = 2 \sin (x)$

Schritt 3.8

Stelle die Faktoren in $\frac{d y}{d x} \sec (x) + y \sec (x) \tan (x) = 2 \sin (x)$ um.

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + y \sec (x) \tan (x) = 2 \sin (x)$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [\sec (x) y] = 2 \sin (x)$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [\sec (x) y] d x = \int 2 \sin (x) d x$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$\sec (x) y = \int 2 \sin (x) d x$

Schritt 7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\sec (x) y = 2 \int \sin (x) d x$

Schritt 7.2

Das Integral von $\sin (x)$ nach $x$ ist $- \cos (x)$ .

$\sec (x) y = 2 (- \cos (x) + C)$

Schritt 7.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.3.1

Vereinfache.

$\sec (x) y = 2 (- \cos (x)) + C$

Schritt 7.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\sec (x) y = - 2 \cos (x) + C$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $\sec (x) y = - 2 \cos (x) + C$ durch $\sec (x)$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $\sec (x) y = - 2 \cos (x) + C$ durch $\sec (x)$ .

$\frac{\sec (x) y}{\sec (x)} = \frac{- 2 \cos (x)}{\sec (x)} + \frac{C}{\sec (x)}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sec (x)$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sec (x) y}{\sec (x)} = \frac{- 2 \cos (x)}{\sec (x)} + \frac{C}{\sec (x)}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 2 \cos (x)}{\sec (x)} + \frac{C}{\sec (x)}$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.3.1.1

Separiere Brüche.

$y = \frac{- 2}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sec (x)} + \frac{C}{\sec (x)}$

Schritt 8.3.1.2

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$y = \frac{- 2}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)}} + \frac{C}{\sec (x)}$

Schritt 8.3.1.3

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{\cos (x)}$ zu dividieren.

$y = \frac{- 2}{1} (\cos (x) \cos (x)) + \frac{C}{\sec (x)}$

Schritt 8.3.1.4

Vereinfache.

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Schritt 8.3.1.4.1

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$y = \frac{- 2}{1} (\cos^{1} (x) \cos (x)) + \frac{C}{\sec (x)}$

Schritt 8.3.1.4.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$y = \frac{- 2}{1} (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + \frac{C}{\sec (x)}$

Schritt 8.3.1.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \frac{- 2}{1} {\cos (x)}^{1 + 1} + \frac{C}{\sec (x)}$

Schritt 8.3.1.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$y = \frac{- 2}{1} \cos^{2} (x) + \frac{C}{\sec (x)}$

Schritt 8.3.1.5

Dividiere $- 2$ durch $1$ .

$y = - 2 \cos^{2} (x) + \frac{C}{\sec (x)}$

Schritt 8.3.1.6

Separiere Brüche.

$y = - 2 \cos^{2} (x) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\sec (x)}$

Schritt 8.3.1.7

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$y = - 2 \cos^{2} (x) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}}$

Schritt 8.3.1.8

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{\cos (x)}$ zu dividieren.

$y = - 2 \cos^{2} (x) + \frac{C}{1} (1 \cos (x))$

Schritt 8.3.1.9

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$y = - 2 \cos^{2} (x) + \frac{C}{1} \cos (x)$

Schritt 8.3.1.10

Dividiere $C$ durch $1$ .

$y = - 2 \cos^{2} (x) + C \cos (x)$