Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y}{x^{3} + y^{3}}$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als eine Funktion von $\frac{y}{x}$ um.

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Schritt 1.1

Mutltipliziere $\frac{x^{2} y}{x^{3} + y^{3}}$ mit $\frac{\frac{1}{x^{3}}}{\frac{1}{x^{3}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y}{x^{3} + y^{3}} \cdot \frac{\frac{1}{x^{3}}}{\frac{1}{x^{3}}}$

Schritt 1.2

Mutltipliziere $\frac{x^{2} y}{x^{3} + y^{3}}$ mit $\frac{\frac{1}{x^{3}}}{\frac{1}{x^{3}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \frac{1}{x^{3}}}{(x^{3} + y^{3}) \frac{1}{x^{3}}}$

Schritt 1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \frac{1}{x^{3}}}{x^{3} \frac{1}{x^{3}} + y^{3} \frac{1}{x^{3}}}$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{3}$ .

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Schritt 1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \frac{1}{x^{3}}}{x^{3} \frac{1}{x^{3}} + y^{3} \frac{1}{x^{3}}}$

Schritt 1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \frac{1}{x^{3}}}{1 + y^{3} \frac{1}{x^{3}}}$

Schritt 1.5

Kombiniere $y^{3}$ und $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \frac{1}{x^{3}}}{1 + \frac{y^{3}}{x^{3}}}$

Schritt 1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 1.6.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} (y) \frac{1}{x^{3}}}{1 + \frac{y^{3}}{x^{3}}}$

Schritt 1.6.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} (y) \frac{1}{x^{2} x}}{1 + \frac{y^{3}}{x^{3}}}$

Schritt 1.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \frac{1}{x^{2} x}}{1 + \frac{y^{3}}{x^{3}}}$

Schritt 1.6.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \frac{1}{x}}{1 + \frac{y^{3}}{x^{3}}}$

Schritt 1.7

Kombiniere $y$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x}}{1 + \frac{y^{3}}{x^{3}}}$

Schritt 1.8

Wende die Quotientenregel an $\frac{a^{m}}{b^{m}} = {(\frac{a}{b})}^{m}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x}}{1 + {(\frac{y}{x})}^{3}}$

Schritt 2

Es gilt $V = \frac{y}{x}$ . Ersetze $V$ für $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{V}{1 + V^{3}}$

Schritt 3

Löse $V = \frac{y}{x}$ nach $y$ auf.

$y = V x$

Schritt 4

Verwende die Produktregel um die Ableitung von $y = V x$ nach $x$ zu finden.

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Schritt 5

Ersetze $\frac{d y}{d x}$ durch $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{1 + V^{3}}$

Schritt 6

Löse die substituierte Differentialgleichung.

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Schritt 6.1

Separiere die Variablen.

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Schritt 6.1.1

Löse nach $\frac{d V}{d x}$ auf.

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Schritt 6.1.1.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.1.1.1.1

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{1^{3} + V^{3}}$

Schritt 6.1.1.1.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = 1$ und $b = V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{(1 + V) (1^{2} - 1 V + V^{2})}$

Schritt 6.1.1.1.3

Vereinfache.

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Schritt 6.1.1.1.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{(1 + V) (1 - 1 V + V^{2})}$

Schritt 6.1.1.1.3.2

Schreibe $- 1 V$ als $- V$ um.

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}$

Schritt 6.1.1.2

Subtrahiere $V$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} - V$

Schritt 6.1.1.3

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} - V$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 6.1.1.3.1

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} - V$ durch $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x} + \frac{- V}{x}$

Schritt 6.1.1.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 6.1.1.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x} + \frac{- V}{x}$

Schritt 6.1.1.3.2.1.2

Dividiere $\frac{d V}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x} + \frac{- V}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.1.1.3.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} - V}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1.3.3.2.1

Faktorisiere $V$ aus $\frac{V}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} - V$ heraus.

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Schritt 6.1.1.3.3.2.1.1

Faktorisiere $V$ aus $\frac{V}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}$ heraus.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} - V}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.2.1.2

Faktorisiere $V$ aus $- V$ heraus.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} + V \cdot - 1}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.2.1.3

Faktorisiere $V$ aus $V \frac{1}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} + V \cdot - 1$ heraus.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (\frac{1}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} - 1)}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.2.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (\frac{1}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} - 1 \cdot \frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{(1 + V) (1 - V + V^{2})})}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.2.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (\frac{1}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} + \frac{- ((1 + V) (1 - V + V^{2}))}{(1 + V) (1 - V + V^{2})})}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - ((1 + V) (1 - V + V^{2}))}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1.3.3.2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 + (- 1 \cdot 1 - V) (1 - V + V^{2})}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.2.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 + (- 1 - V) (1 - V + V^{2})}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.2.5.3

Multipliziere $(- 1 - V) (1 - V + V^{2})$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 \cdot 1 - 1 (- V) - 1 V^{2} - V \cdot 1 - V (- V) - V \cdot V^{2}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.2.5.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1.3.3.2.5.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 - 1 (- V) - 1 V^{2} - V \cdot 1 - V (- V) - V \cdot V^{2}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.2.5.4.2

Multipliziere $- 1 (- V)$ .

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Schritt 6.1.1.3.3.2.5.4.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + 1 V - 1 V^{2} - V \cdot 1 - V (- V) - V \cdot V^{2}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.2.5.4.2.2

Mutltipliziere $V$ mit $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - 1 V^{2} - V \cdot 1 - V (- V) - V \cdot V^{2}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.2.5.4.3

Schreibe $- 1 V^{2}$ als $- V^{2}$ um.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V^{2} - V \cdot 1 - V (- V) - V \cdot V^{2}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.2.5.4.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V^{2} - V - V (- V) - V \cdot V^{2}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.2.5.4.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V^{2} - V - 1 \cdot - 1 V \cdot V - V \cdot V^{2}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.2.5.4.6

Multipliziere $V$ mit $V$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.1.1.3.3.2.5.4.6.1

Bewege $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V^{2} - V - 1 \cdot - 1 (V \cdot V) - V \cdot V^{2}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.2.5.4.6.2

Mutltipliziere $V$ mit $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V^{2} - V - 1 \cdot - 1 V^{2} - V \cdot V^{2}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.2.5.4.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V^{2} - V + 1 V^{2} - V \cdot V^{2}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.2.5.4.8

Mutltipliziere $V^{2}$ mit $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V^{2} - V + V^{2} - V \cdot V^{2}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.2.5.4.9

Multipliziere $V$ mit $V^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.1.1.3.3.2.5.4.9.1

Bewege $V^{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V^{2} - V + V^{2} - (V^{2} V)}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.2.5.4.9.2

Mutltipliziere $V^{2}$ mit $V$ .

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Schritt 6.1.1.3.3.2.5.4.9.2.1

Potenziere $V$ mit $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V^{2} - V + V^{2} - (V^{2} V^{1})}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.2.5.4.9.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V^{2} - V + V^{2} - V^{2 + 1}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.2.5.4.9.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V^{2} - V + V^{2} - V^{3}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.2.5.5

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 1 + V - V^{2} - V + V^{2} - V^{3}$ .

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Schritt 6.1.1.3.3.2.5.5.1

Subtrahiere $V$ von $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 - V^{2} + 0 + V^{2} - V^{3}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.2.5.5.2

Addiere $- 1 - V^{2}$ und $0$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 - V^{2} + V^{2} - V^{3}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.2.5.5.3

Addiere $- V^{2}$ und $V^{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + 0 - V^{3}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.2.5.5.4

Addiere $- 1$ und $0$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 - V^{3}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.2.5.6

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{0 - V^{3}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.2.5.7

Subtrahiere $V^{3}$ von $0$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{- V^{3}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \cdot - 1 \frac{V^{3}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.2.7

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 6.1.1.3.3.2.7.1

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\frac{d V}{d x} = \frac{- (V \frac{V^{3}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})})}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.2.7.2

Kombiniere $V$ und $\frac{V^{3}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{V \cdot V^{3}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.2.7.3

Multipliziere $V$ mit $V^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.1.1.3.3.2.7.3.1

Mutltipliziere $V$ mit $V^{3}$ .

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Schritt 6.1.1.3.3.2.7.3.1.1

Potenziere $V$ mit $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{V^{1} V^{3}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.2.7.3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{V^{1 + 3}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.2.7.3.2

Addiere $1$ und $3$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{V^{4}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{4}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} \cdot \frac{1}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.4

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $\frac{V^{4}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}$ .

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{4}}{x (1 + V) (1 - V + V^{2})}$

Schritt 6.1.2

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{4}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} \cdot \frac{1}{x}$

Schritt 6.1.3

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}}$ .

$\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} (- \frac{V^{4}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} \cdot \frac{1}{x})$

Schritt 6.1.4

Vereinfache.

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Schritt 6.1.4.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} \frac{d V}{d x} = - \frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} (\frac{V^{4}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} \cdot \frac{1}{x})$

Schritt 6.1.4.2

Kombinieren.

$\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} \frac{d V}{d x} = - \frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} \cdot \frac{V^{4} \cdot 1}{(1 + V) (1 - V + V^{2}) x}$

Schritt 6.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $(1 + V) (1 - V + V^{2})$ .

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Schritt 6.1.4.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}}$ in den Zähler.

$\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} \frac{d V}{d x} = \frac{- (1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} \cdot \frac{V^{4} \cdot 1}{(1 + V) (1 - V + V^{2}) x}$

Schritt 6.1.4.3.2

Faktorisiere $(1 + V) (1 - V + V^{2})$ aus $- (1 + V) (1 - V + V^{2})$ heraus.

$\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) (1 - V + V^{2}) (- 1)}{V^{4}} \cdot \frac{V^{4} \cdot 1}{(1 + V) (1 - V + V^{2}) x}$

Schritt 6.1.4.3.3

Faktorisiere $(1 + V) (1 - V + V^{2})$ aus $(1 + V) (1 - V + V^{2}) x$ heraus.

$\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) (1 - V + V^{2}) (- 1)}{V^{4}} \cdot \frac{V^{4} \cdot 1}{(1 + V) (1 - V + V^{2}) (x)}$

Schritt 6.1.4.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) (1 - V + V^{2}) \cdot - 1}{V^{4}} \cdot \frac{V^{4} \cdot 1}{(1 + V) (1 - V + V^{2}) x}$

Schritt 6.1.4.3.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V^{4}} \cdot \frac{V^{4} \cdot 1}{x}$

Schritt 6.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $V^{4}$ .

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Schritt 6.1.4.4.1

Faktorisiere $V^{4}$ aus $V^{4} \cdot 1$ heraus.

$\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V^{4}} \cdot \frac{V^{4} (1)}{x}$

Schritt 6.1.4.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V^{4}} \cdot \frac{V^{4} \cdot 1}{x}$

Schritt 6.1.4.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{x}$

Schritt 6.1.5

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} d V = - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 6.2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Bringe $V^{4}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int (1 + V) (1 - V + V^{2}) {(V^{4})}^{- 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(V^{4})}^{- 1}$ .

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Schritt 6.2.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (1 + V) (1 - V + V^{2}) V^{4 \cdot - 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\int (1 + V) (1 - V + V^{2}) V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3

Multipliziere $(1 + V) (1 - V + V^{2}) V^{- 4}$ aus.

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Schritt 6.2.2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int (1 (1 - V + V^{2}) + V (1 - V + V^{2})) V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int (1 (1 - V) + 1 V^{2} + V (1 - V + V^{2})) V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\int (1 \cdot 1 + 1 (- V) + 1 V^{2} + V (1 - V + V^{2})) V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\int (1 \cdot 1 + 1 (- V) + 1 V^{2} + V (1 - V) + V \cdot V^{2}) V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\int (1 \cdot 1 + 1 (- V) + 1 V^{2} + V \cdot 1 + V (- V) + V \cdot V^{2}) V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\int (1 \cdot 1 + 1 (- V) + 1 V^{2}) V^{- 4} + (V \cdot 1 + V (- V) + V \cdot V^{2}) V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3.7

Wende das Distributivgesetz an.

$\int (1 \cdot 1 + 1 (- V)) V^{- 4} + 1 V^{2} V^{- 4} + (V \cdot 1 + V (- V) + V \cdot V^{2}) V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3.8

Wende das Distributivgesetz an.

$\int 1 \cdot 1 V^{- 4} + 1 (- V) V^{- 4} + 1 V^{2} V^{- 4} + (V \cdot 1 + V (- V) + V \cdot V^{2}) V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3.9

Wende das Distributivgesetz an.

$\int 1 \cdot 1 V^{- 4} + 1 (- V) V^{- 4} + 1 V^{2} V^{- 4} + (V \cdot 1 + V (- V)) V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3.10

Wende das Distributivgesetz an.

$\int 1 \cdot 1 V^{- 4} + 1 (- V) V^{- 4} + 1 V^{2} V^{- 4} + V \cdot 1 V^{- 4} + V (- V) V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3.11

Stelle $V$ und $1$ um.

$\int 1 \cdot 1 V^{- 4} + 1 \cdot - 1 V \cdot V^{- 4} + 1 V^{2} V^{- 4} + 1 \cdot V \cdot V^{- 4} + V (- V) V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3.12

Stelle $V$ und $- 1$ um.

$\int 1 \cdot 1 V^{- 4} + 1 \cdot - 1 V \cdot V^{- 4} + 1 V^{2} V^{- 4} + 1 \cdot V \cdot V^{- 4} - 1 \cdot V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3.13

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\int 1 V^{- 4} + 1 \cdot - 1 V \cdot V^{- 4} + 1 V^{2} V^{- 4} + 1 V \cdot V^{- 4} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3.14

Mutltipliziere $V^{- 4}$ mit $1$ .

$\int V^{- 4} + 1 \cdot - 1 V \cdot V^{- 4} + 1 V^{2} V^{- 4} + 1 V \cdot V^{- 4} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3.15

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\int V^{- 4} - V \cdot V^{- 4} + 1 V^{2} V^{- 4} + 1 V \cdot V^{- 4} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3.16

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\int V^{- 4} - (V \cdot V^{- 4}) + 1 V^{2} V^{- 4} + 1 V \cdot V^{- 4} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3.17

Potenziere $V$ mit $1$ .

$\int V^{- 4} - (V^{1} V^{- 4}) + 1 V^{2} V^{- 4} + 1 V \cdot V^{- 4} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3.18

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int V^{- 4} - V^{1 - 4} + 1 V^{2} V^{- 4} + 1 V \cdot V^{- 4} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3.19

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + 1 V^{2} V^{- 4} + 1 V \cdot V^{- 4} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3.20

Mutltipliziere $V^{2}$ mit $1$ .

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{2} V^{- 4} + 1 V \cdot V^{- 4} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3.21

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{2 - 4} + 1 V \cdot V^{- 4} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3.22

Subtrahiere $4$ von $2$ .

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + 1 V \cdot V^{- 4} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3.23

Mutltipliziere $V$ mit $1$ .

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V \cdot V^{- 4} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3.24

Potenziere $V$ mit $1$ .

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{1} V^{- 4} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3.25

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{1 - 4} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3.26

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 3} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3.27

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 3} - (V \cdot V) V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3.28

Potenziere $V$ mit $1$ .

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 3} - (V^{1} V) V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3.29

Potenziere $V$ mit $1$ .

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 3} - (V^{1} V^{1}) V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3.30

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 3} - V^{1 + 1} V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3.31

Addiere $1$ und $1$ .

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 3} - V^{2} V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3.32

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 3} - (V^{2} V^{- 4}) + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3.33

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 3} - V^{2 - 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3.34

Subtrahiere $4$ von $2$ .

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 3} - V^{- 2} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3.35

Potenziere $V$ mit $1$ .

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 3} - V^{- 2} + V^{1} V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3.36

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 3} - V^{- 2} + V^{1 + 2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3.37

Addiere $1$ und $2$ .

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 3} - V^{- 2} + V^{3} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3.38

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 3} - V^{- 2} + V^{3 - 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3.39

Subtrahiere $4$ von $3$ .

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 3} - V^{- 2} + V^{- 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3.40

Stelle $V^{- 4}$ und $- V^{- 3}$ um.

$\int - V^{- 3} + V^{- 4} + V^{- 2} + V^{- 3} - V^{- 2} + V^{- 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3.41

Bewege $V^{- 4}$ .

$\int - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 4} + V^{- 3} - V^{- 2} + V^{- 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3.42

Stelle $- V^{- 3}$ und $V^{- 2}$ um.

$\int V^{- 2} - V^{- 3} + V^{- 4} + V^{- 3} - V^{- 2} + V^{- 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3.43

Stelle $V^{- 3}$ und $- V^{- 2}$ um.

$\int V^{- 2} - V^{- 3} + V^{- 4} - V^{- 2} + V^{- 3} + V^{- 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3.44

Bewege $V^{- 3}$ .

$\int V^{- 2} - V^{- 3} + V^{- 4} - V^{- 2} + V^{- 1} + V^{- 3} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3.45

Stelle $- V^{- 2}$ und $V^{- 1}$ um.

$\int V^{- 2} - V^{- 3} + V^{- 4} + V^{- 1} - V^{- 2} + V^{- 3} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3.46

Bewege $V^{- 4}$ .

$\int V^{- 2} - V^{- 3} + V^{- 1} - V^{- 2} + V^{- 3} + V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3.47

Bewege $- V^{- 3}$ .

$\int V^{- 2} + V^{- 1} - V^{- 2} + V^{- 3} - V^{- 3} + V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3.48

Stelle $V^{- 2}$ und $V^{- 1}$ um.

$\int V^{- 1} + V^{- 2} - V^{- 2} + V^{- 3} - V^{- 3} + V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3.49

Subtrahiere $V^{- 2}$ von $V^{- 2}$ .

$\int V^{- 1} + 0 + V^{- 3} - V^{- 3} + V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3.50

Addiere $V^{- 1}$ und $0$ .

$\int V^{- 1} + V^{- 3} - V^{- 3} + V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3.51

Subtrahiere $V^{- 3}$ von $V^{- 3}$ .

$\int V^{- 1} + 0 + V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3.52

Addiere $V^{- 1}$ und $0$ .

$\int V^{- 1} + V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int V^{- 1} d V + \int V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.5

Das Integral von $V^{- 1}$ nach $V$ ist $\ln (| V |)$ .

$\ln (| V |) + C_{1} + \int V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $V^{- 4}$ nach $V$ gleich $- \frac{1}{3} V^{- 3}$ .

$\ln (| V |) + C_{1} - \frac{1}{3} V^{- 3} + C_{2} = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.7

Vereinfache.

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Schritt 6.2.2.7.1

Vereinfache.

$\ln (| V |) - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{V^{3}} + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.7.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.2.7.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{V^{3}}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| V |) - \frac{1}{V^{3} \cdot 3} + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.7.2.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $V^{3}$ .

$\ln (| V |) - \frac{1}{3 V^{3}} + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.8

Stelle die Terme um.

$- \frac{1}{3 V^{3}} + \ln (| V |) + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 6.2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \frac{1}{3 V^{3}} + \ln (| V |) + C_{3} = - \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.3.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{3 V^{3}} + \ln (| V |) + C_{3} = - (\ln (| x |) + C_{4})$

Schritt 6.2.3.3

Vereinfache.

$- \frac{1}{3 V^{3}} + \ln (| V |) + C_{3} = - \ln (| x |) + C_{4}$

Schritt 6.2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$- \frac{1}{3 V^{3}} + \ln (| V |) = - \ln (| x |) + C$

Schritt 7

Ersetze $V$ durch $\frac{y}{x}$ .

$- \frac{1}{3 {(\frac{y}{x})}^{3}} + \ln (| \frac{y}{x} |) = - \ln (| x |) + C$

Schritt 8

Löse $- \frac{1}{3 {(\frac{y}{x})}^{3}} + \ln (| \frac{y}{x} |) = - \ln (| x |) + C$ nach $y$ auf.

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Schritt 8.1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| \frac{y}{x} |) + \ln (| x |) = \frac{1}{3 {(\frac{y}{x})}^{3}} + C$

Schritt 8.2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| \frac{y}{x} | | x |) = \frac{1}{3 {(\frac{y}{x})}^{3}} + C$

Schritt 8.3

Multipliziere $| \frac{y}{x} | | x |$ .

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Schritt 8.3.1

Um Absolutwerte zu multiplizieren, multipliziere die Terme innerhalb jedes Absolutwerts.

$\ln (| \frac{y}{x} \cdot x |) = \frac{1}{3 {(\frac{y}{x})}^{3}} + C$

Schritt 8.3.2

Kombiniere $\frac{y}{x}$ und $x$ .

$\ln (| \frac{y x}{x} |) = \frac{1}{3 {(\frac{y}{x})}^{3}} + C$

Schritt 8.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 8.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (| \frac{y x}{x} |) = \frac{1}{3 {(\frac{y}{x})}^{3}} + C$

Schritt 8.4.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{3 {(\frac{y}{x})}^{3}} + C$

Schritt 8.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.5.1

Wende die Produktregel auf $\frac{y}{x}$ an.

$\ln (| y |) = \frac{1}{3 (\frac{y^{3}}{x^{3}})} + C$

Schritt 8.5.2

Kombiniere $3$ und $\frac{y^{3}}{x^{3}}$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{\frac{3 y^{3}}{x^{3}}} + C$

Schritt 8.5.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\ln (| y |) = 1 (\frac{x^{3}}{3 y^{3}}) + C$

Schritt 8.5.4

Mutltipliziere $\frac{x^{3}}{3 y^{3}}$ mit $1$ .

$\ln (| y |) = \frac{x^{3}}{3 y^{3}} + C$