Analysis Beispiele

$x \frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 + 3 y}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 + 3 y}$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.1

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 + 3 y}$ durch $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\frac{y}{2 + 3 y}}{x}$

Schritt 1.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\frac{y}{2 + 3 y}}{x}$

Schritt 1.1.2.1.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{2 + 3 y}}{x}$

Schritt 1.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 + 3 y} \cdot \frac{1}{x}$

Schritt 1.1.3.2

Mutltipliziere $\frac{y}{2 + 3 y}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{(2 + 3 y) x}$

Schritt 1.1.3.3

Stelle die Faktoren in $\frac{y}{(2 + 3 y) x}$ um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x (2 + 3 y)}$

Schritt 1.2

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 + 3 y} \cdot \frac{1}{x}$

Schritt 1.3

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{2 + 3 y}{y}$ .

$\frac{2 + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2 + 3 y}{y} (\frac{y}{2 + 3 y} \cdot \frac{1}{x})$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Mutltipliziere $\frac{y}{2 + 3 y}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$\frac{2 + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2 + 3 y}{y} \cdot \frac{y}{(2 + 3 y) x}$

Schritt 1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 + 3 y$ .

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Schritt 1.4.2.1

Faktorisiere $2 + 3 y$ aus $(2 + 3 y) x$ heraus.

$\frac{2 + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2 + 3 y}{y} \cdot \frac{y}{(2 + 3 y) (x)}$

Schritt 1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2 + 3 y}{y} \cdot \frac{y}{(2 + 3 y) x}$

Schritt 1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{x}$

Schritt 1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{x}$

Schritt 1.4.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Schritt 1.5

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{2 + 3 y}{y} d y = \frac{1}{x} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{2 + 3 y}{y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

$\int \frac{2}{y} + \frac{3 y}{y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{2}{y} d y + \int \frac{3 y}{y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{2}{y} d y + \int \frac{3 y}{y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2.3.2

Dividiere $3$ durch $1$ .

$\int \frac{2}{y} d y + \int 3 d y = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2.4

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int \frac{1}{y} d y + \int 3 d y = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2.5

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$2 (\ln (| y |) + C_{1}) + \int 3 d y = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2.6

Wende die Konstantenregel an.

$2 (\ln (| y |) + C_{1}) + 3 y + C_{2} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2.7

Vereinfache.

$2 \ln (| y |) + 3 y + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2.8

Stelle die Terme um.

$3 y + 2 \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$3 y + 2 \ln (| y |) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$3 y + 2 \ln (| y |) = \ln (| x |) + C$