Analysis Beispiele

$x \frac{d y}{d x} = 5 y + 2 x^{3} - x$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ um.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $5 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \frac{d y}{d x} - 5 y = 2 x^{3} - x$

Schritt 1.2

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d y}{d x} - 5 y = 2 x^{3} - x$ durch $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 5 y}{x} = \frac{2 x^{3}}{x} + \frac{- x}{x}$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 5 y}{x} = \frac{2 x^{3}}{x} + \frac{- x}{x}$

Schritt 1.3.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 5 y}{x} = \frac{2 x^{3}}{x} + \frac{- x}{x}$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{3}$ und $x$ .

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Schritt 1.4.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x^{3}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 5 y}{x} = \frac{x (2 x^{2})}{x} + \frac{- x}{x}$

Schritt 1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 5 y}{x} = \frac{x (2 x^{2})}{x^{1}} + \frac{- x}{x}$

Schritt 1.4.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 5 y}{x} = \frac{x (2 x^{2})}{x \cdot 1} + \frac{- x}{x}$

Schritt 1.4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 5 y}{x} = \frac{x (2 x^{2})}{x \cdot 1} + \frac{- x}{x}$

Schritt 1.4.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 5 y}{x} = \frac{2 x^{2}}{1} + \frac{- x}{x}$

Schritt 1.4.2.5

Dividiere $2 x^{2}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 5 y}{x} = 2 x^{2} + \frac{- x}{x}$

Schritt 1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 5 y}{x} = 2 x^{2} + \frac{- x}{x}$

Schritt 1.5.2

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 5 y}{x} = 2 x^{2} - 1$

Schritt 1.6

Faktorisiere $y$ aus $\frac{- 5 y}{x}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 5}{x} = 2 x^{2} - 1$

Schritt 1.7

Stelle $y$ und $\frac{- 5}{x}$ um.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 5}{x} y = 2 x^{2} - 1$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = \frac{- 5}{x}$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int \frac{- 5}{x} d x}$

Schritt 2.2

Integriere $\frac{- 5}{x}$ .

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Schritt 2.2.1

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

$e^{\int - \frac{5}{x} d x}$

Schritt 2.2.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- \int \frac{5}{x} d x}$

Schritt 2.2.3

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$e^{- (5 \int \frac{1}{x} d x)}$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$e^{- 5 \int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 2.2.5

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$e^{- 5 (\ln (| x |) + C)}$

Schritt 2.2.6

Vereinfache.

$e^{- 5 \ln (| x |) + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{- 5 \ln (x)}$

Schritt 2.4

Verwende die Potenzregel des Logarithmus.

$e^{\ln (x^{- 5})}$

Schritt 2.5

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$x^{- 5}$

Schritt 2.6

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{5}}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\frac{1}{x^{5}}$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{1}{x^{5}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{5}} (\frac{- 5}{x} y) = \frac{1}{x^{5}} (2 x^{2}) + \frac{1}{x^{5}} \cdot - 1$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $\frac{1}{x^{5}}$ und $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}} (\frac{- 5}{x} y) = \frac{1}{x^{5}} (2 x^{2}) + \frac{1}{x^{5}} \cdot - 1$

Schritt 3.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}} (- \frac{5}{x} y) = \frac{1}{x^{5}} (2 x^{2}) + \frac{1}{x^{5}} \cdot - 1$

Schritt 3.2.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{1}{x^{5}} (\frac{5}{x} y) = \frac{1}{x^{5}} (2 x^{2}) + \frac{1}{x^{5}} \cdot - 1$

Schritt 3.2.4

Kombiniere $\frac{5}{x}$ und $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{1}{x^{5}} \cdot \frac{5 y}{x} = \frac{1}{x^{5}} (2 x^{2}) + \frac{1}{x^{5}} \cdot - 1$

Schritt 3.2.5

Multipliziere $- \frac{1}{x^{5}} \cdot \frac{5 y}{x}$ .

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Schritt 3.2.5.1

Mutltipliziere $\frac{5 y}{x}$ mit $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 y}{x \cdot x^{5}} = \frac{1}{x^{5}} (2 x^{2}) + \frac{1}{x^{5}} \cdot - 1$

Schritt 3.2.5.2

Multipliziere $x$ mit $x^{5}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.5.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{5}$ .

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Schritt 3.2.5.2.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 y}{x^{1} x^{5}} = \frac{1}{x^{5}} (2 x^{2}) + \frac{1}{x^{5}} \cdot - 1$

Schritt 3.2.5.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 y}{x^{1 + 5}} = \frac{1}{x^{5}} (2 x^{2}) + \frac{1}{x^{5}} \cdot - 1$

Schritt 3.2.5.2.2

Addiere $1$ und $5$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 y}{x^{6}} = \frac{1}{x^{5}} (2 x^{2}) + \frac{1}{x^{5}} \cdot - 1$

Schritt 3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 y}{x^{6}} = 2 \frac{1}{x^{5}} x^{2} + \frac{1}{x^{5}} \cdot - 1$

Schritt 3.3.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 y}{x^{6}} = \frac{2}{x^{5}} x^{2} + \frac{1}{x^{5}} \cdot - 1$

Schritt 3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 3.3.3.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{5}$ heraus.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 y}{x^{6}} = \frac{2}{x^{2} x^{3}} x^{2} + \frac{1}{x^{5}} \cdot - 1$

Schritt 3.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 y}{x^{6}} = \frac{2}{x^{2} x^{3}} x^{2} + \frac{1}{x^{5}} \cdot - 1$

Schritt 3.3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 y}{x^{6}} = \frac{2}{x^{3}} + \frac{1}{x^{5}} \cdot - 1$

Schritt 3.3.4

Kombiniere $\frac{1}{x^{5}}$ und $- 1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 y}{x^{6}} = \frac{2}{x^{3}} + \frac{- 1}{x^{5}}$

Schritt 3.3.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 y}{x^{6}} = \frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{x^{5}}$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}} y] = \frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{x^{5}}$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}} y] d x = \int \frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{x^{5}} d x$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$\frac{1}{x^{5}} y = \int \frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{x^{5}} d x$

Schritt 7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{x^{5}} y = \int \frac{2}{x^{3}} d x + \int - \frac{1}{x^{5}} d x$

Schritt 7.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\frac{1}{x^{5}} y = 2 \int \frac{1}{x^{3}} d x + \int - \frac{1}{x^{5}} d x$

Schritt 7.3

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 7.3.1

Bringe $x^{3}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{x^{5}} y = 2 \int {(x^{3})}^{- 1} d x + \int - \frac{1}{x^{5}} d x$

Schritt 7.3.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 7.3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x^{5}} y = 2 \int x^{3 \cdot - 1} d x + \int - \frac{1}{x^{5}} d x$

Schritt 7.3.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{x^{5}} y = 2 \int x^{- 3} d x + \int - \frac{1}{x^{5}} d x$

Schritt 7.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 3}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$\frac{1}{x^{5}} y = 2 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int - \frac{1}{x^{5}} d x$

Schritt 7.5

Vereinfache.

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Schritt 7.5.1

Kombiniere $x^{- 2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x^{5}} y = 2 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int - \frac{1}{x^{5}} d x$

Schritt 7.5.2

Bringe $x^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{5}} y = 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int - \frac{1}{x^{5}} d x$

Schritt 7.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{x^{5}} y = 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - \int \frac{1}{x^{5}} d x$

Schritt 7.7

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 7.7.1

Bringe $x^{5}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{x^{5}} y = 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - \int {(x^{5})}^{- 1} d x$

Schritt 7.7.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{5})}^{- 1}$ .

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Schritt 7.7.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x^{5}} y = 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - \int x^{5 \cdot - 1} d x$

Schritt 7.7.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{x^{5}} y = 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - \int x^{- 5} d x$

Schritt 7.8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 5}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ .

$\frac{1}{x^{5}} y = 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - (- \frac{1}{4} x^{- 4} + C)$

Schritt 7.9

Vereinfache.

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Schritt 7.9.1

Vereinfache.

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Schritt 7.9.1.1

Kombiniere $x^{- 4}$ und $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{x^{5}} y = 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - (- \frac{x^{- 4}}{4} + C)$

Schritt 7.9.1.2

Bringe $x^{- 4}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{5}} y = 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - (- \frac{1}{4 x^{4}} + C)$

Schritt 7.9.2

Vereinfache.

$\frac{1}{x^{5}} y = \frac{- 1}{x^{2}} - - \frac{1}{4 x^{4}} + C$

Schritt 7.9.3

Vereinfache.

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Schritt 7.9.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{x^{5}} y = - \frac{1}{x^{2}} - - \frac{1}{4 x^{4}} + C$

Schritt 7.9.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{x^{5}} y = - \frac{1}{x^{2}} + 1 \frac{1}{4 x^{4}} + C$

Schritt 7.9.3.3

Mutltipliziere $\frac{1}{4 x^{4}}$ mit $1$ .

$\frac{1}{x^{5}} y = - \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{4 x^{4}} + C$

Schritt 8

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 8.1

Bringe alle Terme, die Variablen enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 8.1.1

Addiere $\frac{1}{x^{2}}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{1}{x^{5}} y + \frac{1}{x^{2}} = \frac{1}{4 x^{4}} + C$

Schritt 8.1.2

Subtrahiere $\frac{1}{4 x^{4}}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{1}{x^{5}} y + \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{4 x^{4}} = C$

Schritt 8.1.3

Subtrahiere $C$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{1}{x^{5}} y + \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{4 x^{4}} - C = 0$

Schritt 8.1.4

Kombiniere $\frac{1}{x^{5}}$ und $y$ .

$\frac{y}{x^{5}} + \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{4 x^{4}} - C = 0$

Schritt 8.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 8.2.1

Subtrahiere $\frac{1}{x^{2}}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{y}{x^{5}} - \frac{1}{4 x^{4}} - C = - \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 8.2.2

Addiere $\frac{1}{4 x^{4}}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{y}{x^{5}} - C = - \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{4 x^{4}}$

Schritt 8.2.3

Addiere $C$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{y}{x^{5}} = - \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{4 x^{4}} + C$

Schritt 8.3

Multipliziere beide Seiten mit $x^{5}$ .

$\frac{y}{x^{5}} x^{5} = (- \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{4 x^{4}} + C) x^{5}$

Schritt 8.4

Vereinfache.

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Schritt 8.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{5}$ .

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Schritt 8.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{x^{5}} x^{5} = (- \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{4 x^{4}} + C) x^{5}$

Schritt 8.4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = (- \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{4 x^{4}} + C) x^{5}$

Schritt 8.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.4.2.1

Vereinfache $(- \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{4 x^{4}} + C) x^{5}$ .

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Schritt 8.4.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - \frac{1}{x^{2}} x^{5} + \frac{1}{4 x^{4}} x^{5} + C x^{5}$

Schritt 8.4.2.1.2

Vereinfache.

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Schritt 8.4.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 8.4.2.1.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{x^{2}}$ in den Zähler.

$y = \frac{- 1}{x^{2}} x^{5} + \frac{1}{4 x^{4}} x^{5} + C x^{5}$

Schritt 8.4.2.1.2.1.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{5}$ heraus.

$y = \frac{- 1}{x^{2}} (x^{2} x^{3}) + \frac{1}{4 x^{4}} x^{5} + C x^{5}$

Schritt 8.4.2.1.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{- 1}{x^{2}} (x^{2} x^{3}) + \frac{1}{4 x^{4}} x^{5} + C x^{5}$

Schritt 8.4.2.1.2.1.4

Forme den Ausdruck um.

$y = - 1 x^{3} + \frac{1}{4 x^{4}} x^{5} + C x^{5}$

Schritt 8.4.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{4}$ .

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Schritt 8.4.2.1.2.2.1

Faktorisiere $x^{4}$ aus $4 x^{4}$ heraus.

$y = - 1 x^{3} + \frac{1}{x^{4} \cdot 4} x^{5} + C x^{5}$

Schritt 8.4.2.1.2.2.2

Faktorisiere $x^{4}$ aus $x^{5}$ heraus.

$y = - 1 x^{3} + \frac{1}{x^{4} \cdot 4} (x^{4} x) + C x^{5}$

Schritt 8.4.2.1.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - 1 x^{3} + \frac{1}{x^{4} \cdot 4} (x^{4} x) + C x^{5}$

Schritt 8.4.2.1.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$y = - 1 x^{3} + \frac{1}{4} x + C x^{5}$

Schritt 8.4.2.1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x$ .

$y = - 1 x^{3} + \frac{x}{4} + C x^{5}$

Schritt 8.4.2.1.3

Schreibe $- 1 x^{3}$ als $- x^{3}$ um.

$y = - x^{3} + \frac{x}{4} + C x^{5}$

Schritt 8.4.2.1.4

Bewege $\frac{x}{4}$ .

$y = - x^{3} + C x^{5} + \frac{x}{4}$

Schritt 8.4.2.1.5

Stelle $- x^{3}$ und $C x^{5}$ um.

$y = C x^{5} - x^{3} + \frac{x}{4}$