Analysis Beispiele

$(y^{2} + 4 y - 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} - 2 x + 3$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$(y^{2} + 4 y - 1) d y = (x^{2} - 2 x + 3) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int y^{2} + 4 y - 1 d y = \int x^{2} - 2 x + 3 d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int y^{2} d y + \int 4 y d y + \int - 1 d y = \int x^{2} - 2 x + 3 d x$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{2}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} + \int 4 y d y + \int - 1 d y = \int x^{2} - 2 x + 3 d x$

Schritt 2.2.3

Da $4$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} + 4 \int y d y + \int - 1 d y = \int x^{2} - 2 x + 3 d x$

Schritt 2.2.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} + 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{2}) + \int - 1 d y = \int x^{2} - 2 x + 3 d x$

Schritt 2.2.5

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} + 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{2}) - y + C_{3} = \int x^{2} - 2 x + 3 d x$

Schritt 2.2.6

Vereinfache.

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Schritt 2.2.6.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} + 4 (\frac{y^{2}}{2} + C_{2}) - y + C_{3} = \int x^{2} - 2 x + 3 d x$

Schritt 2.2.6.2

Vereinfache.

$\frac{y^{3}}{3} + 2 y^{2} - y + C_{4} = \int x^{2} - 2 x + 3 d x$

Schritt 2.2.6.3

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{3} y^{3} + 2 y^{2} - y + C_{4} = \int x^{2} - 2 x + 3 d x$

Schritt 2.2.7

Stelle die Terme um.

$2 y^{2} + \frac{1}{3} y^{3} - y + C_{4} = \int x^{2} - 2 x + 3 d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$2 y^{2} + \frac{1}{3} y^{3} - y + C_{4} = \int x^{2} d x + \int - 2 x d x + \int 3 d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 y^{2} + \frac{1}{3} y^{3} - y + C_{4} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{5} + \int - 2 x d x + \int 3 d x$

Schritt 2.3.3

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$2 y^{2} + \frac{1}{3} y^{3} - y + C_{4} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{5} - 2 \int x d x + \int 3 d x$

Schritt 2.3.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 y^{2} + \frac{1}{3} y^{3} - y + C_{4} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{5} - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{6}) + \int 3 d x$

Schritt 2.3.5

Wende die Konstantenregel an.

$2 y^{2} + \frac{1}{3} y^{3} - y + C_{4} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{5} - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{6}) + 3 x + C_{7}$

Schritt 2.3.6

Vereinfache.

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Schritt 2.3.6.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$2 y^{2} + \frac{1}{3} y^{3} - y + C_{4} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{5} - 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{6}) + 3 x + C_{7}$

Schritt 2.3.6.2

Vereinfache.

$2 y^{2} + \frac{1}{3} y^{3} - y + C_{4} = \frac{x^{3}}{3} - x^{2} + 3 x + C_{8}$

Schritt 2.3.6.3

Stelle die Terme um.

$2 y^{2} + \frac{1}{3} y^{3} - y + C_{4} = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} + 3 x + C_{8}$

Schritt 2.3.7

Stelle die Terme um.

$2 y^{2} + \frac{1}{3} y^{3} - y + C_{4} = - x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 3 x + C_{8}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$2 y^{2} + \frac{1}{3} y^{3} - y = - x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 3 x + K$