Analysis Beispiele

$(\frac{1}{y}) d x - (3 y - \frac{x}{y^{2}}) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = \frac{1}{y}$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$

Schritt 1.2

Schreibe $\frac{1}{y}$ als $y^{- 1}$ um.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{- 1}]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - y^{- 2}$

Schritt 1.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{1}{y^{2}}$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = - (3 y - \frac{x}{y^{2}})$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (3 y - \frac{x}{y^{2}})]$

Schritt 2.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- (3 y - \frac{x}{y^{2}})$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [3 y - \frac{x}{y^{2}}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [3 y - \frac{x}{y^{2}}]$

Schritt 2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 y - \frac{x}{y^{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y^{2}}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y^{2}}])$

Schritt 2.4

Da $3 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (0 + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y^{2}}])$

Schritt 2.5

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- \frac{x}{y^{2}}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y^{2}}]$

Schritt 2.6

Da $- \frac{1}{y^{2}}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{x}{y^{2}}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{y^{2}} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (- \frac{1}{y^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.7

Multipliziere.

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Schritt 2.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 (\frac{1}{y^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.7.2

Mutltipliziere $\frac{1}{y^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y^{2}} \cdot 1$

Schritt 2.9

Mutltipliziere $\frac{1}{y^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y^{2}}$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $- \frac{1}{y^{2}}$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $\frac{1}{y^{2}}$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$- \frac{1}{y^{2}} = \frac{1}{y^{2}}$

Schritt 3.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$- \frac{1}{y^{2}} = \frac{1}{y^{2}}$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{\frac{1}{y^{2}} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Schritt 4.2

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $- \frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{\frac{1}{y^{2}} - - \frac{1}{y^{2}}}{M}$

Schritt 4.3

Ersetze $M$ durch $\frac{1}{y}$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $M$ durch $\frac{1}{y}$ .

$\frac{\frac{1}{y^{2}} - - \frac{1}{y^{2}}}{\frac{1}{y}}$

Schritt 4.3.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$(\frac{1}{y^{2}} - - \frac{1}{y^{2}}) y$

Schritt 4.3.3

Multipliziere $- - \frac{1}{y^{2}}$ .

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Schritt 4.3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$(\frac{1}{y^{2}} + 1 \frac{1}{y^{2}}) y$

Schritt 4.3.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{y^{2}}$ mit $1$ .

$(\frac{1}{y^{2}} + \frac{1}{y^{2}}) y$

Schritt 4.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 + 1}{y^{2}} y$

Schritt 4.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2}{y^{2}} y$

Schritt 4.3.6

Ersetze $M$ durch $\frac{1}{y}$ .

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Schritt 4.3.6.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{2}$ heraus.

$\frac{2}{y \cdot y} y$

Schritt 4.3.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{y \cdot y} y$

Schritt 4.3.6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{y}$

Schritt 4.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{2}{y} d y}$

Schritt 5

Berechne das Integral $e^{\int \frac{2}{y} d y}$ .

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Schritt 5.1

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{y} d y}$

Schritt 5.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{2 (\ln (| y |) + C)}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{2 \ln (| y |)} + C$

Schritt 5.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.1

Vereinfache $2 \ln (| y |)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{2})} + C$

Schritt 5.4.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$μ (x, y) = {| y |}^{2} + C$

Schritt 5.4.3

Entferne den Absolutwert in ${| y |}^{2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$μ (x, y) = y^{2} + C$

Schritt 6

Multipliziere beide Seiten von $\frac{1}{y} d x - (3 y - \frac{x}{y^{2}}) d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $y^{2}$ .

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $\frac{1}{y}$ mit $y^{2}$ .

$\frac{1}{y} y^{2} d x - (3 y - \frac{x}{y^{2}}) d y = 0$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{2}$ heraus.

$\frac{1}{y} (y \cdot y) d x - (3 y - \frac{x}{y^{2}}) d y = 0$

Schritt 6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y} (y \cdot y) d x - (3 y - \frac{x}{y^{2}}) d y = 0$

Schritt 6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y d x - (3 y - \frac{x}{y^{2}}) d y = 0$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $- (3 y - \frac{x}{y^{2}})$ mit $y^{2}$ .

$y d x - (3 y - \frac{x}{y^{2}}) y^{2} d y = 0$

Schritt 6.4

Wende das Distributivgesetz an.

$y d x + (- (3 y) - - \frac{x}{y^{2}}) y^{2} d y = 0$

Schritt 6.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$y d x + (- 3 y - - \frac{x}{y^{2}}) y^{2} d y = 0$

Schritt 6.6

Multipliziere $- - \frac{x}{y^{2}}$ .

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Schritt 6.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y d x + (- 3 y + 1 \frac{x}{y^{2}}) y^{2} d y = 0$

Schritt 6.6.2

Mutltipliziere $\frac{x}{y^{2}}$ mit $1$ .

$y d x + (- 3 y + \frac{x}{y^{2}}) y^{2} d y = 0$

Schritt 6.7

Wende das Distributivgesetz an.

$y d x + (- 3 y \cdot y^{2} + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d y = 0$

Schritt 6.8

Multipliziere $y$ mit $y^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.8.1

Bewege $y^{2}$ .

$y d x + (- 3 (y^{2} y) + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d y = 0$

Schritt 6.8.2

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $y$ .

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Schritt 6.8.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$y d x + (- 3 (y^{2} y^{1}) + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d y = 0$

Schritt 6.8.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y d x + (- 3 y^{2 + 1} + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d y = 0$

Schritt 6.8.3

Addiere $2$ und $1$ .

$y d x + (- 3 y^{3} + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d y = 0$

Schritt 6.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 6.9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y d x + (- 3 y^{3} + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d y = 0$

Schritt 6.9.2

Forme den Ausdruck um.

$y d x + (- 3 y^{3} + x) d y = 0$

Schritt 7

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y d x$

Schritt 8

Integriere $M (x, y) = y$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 8.1

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = y x + C$

Schritt 9

Da das Integral von $g (y)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (y)$ ersetzen.

$f (x, y) = y x + g (y)$

Schritt 10

Setze $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = - 3 y^{3} + x$

Schritt 11

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Schritt 11.1

Differenziere $f$ nach $y$ .

$\frac{d}{d y} [y x + g (y)] = - 3 y^{3} + x$

Schritt 11.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y x + g (y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 3 y^{3} + x$

Schritt 11.3

Berechne $\frac{d}{d y} [y x]$ .

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Schritt 11.3.1

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $y x$ nach $y$ gleich $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 3 y^{3} + x$

Schritt 11.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 3 y^{3} + x$

Schritt 11.3.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 3 y^{3} + x$

Schritt 11.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (y)$ $\frac{d g}{d y}$ ist.

$x + \frac{d g}{d y} = - 3 y^{3} + x$

Schritt 11.5

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d y} + x = - 3 y^{3} + x$

Schritt 12

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

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Schritt 12.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d y}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 12.1.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} = - 3 y^{3} + x - x$

Schritt 12.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 3 y^{3} + x - x$ .

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Schritt 12.1.2.1

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$\frac{d g}{d y} = - 3 y^{3} + 0$

Schritt 12.1.2.2

Addiere $- 3 y^{3}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - 3 y^{3}$

Schritt 13

Bestimme die Stammfunktion von $- 3 y^{3}$ , um $g (y)$ zu finden.

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Schritt 13.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d y} = - 3 y^{3}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 3 y^{3} d y$

Schritt 13.2

Berechne $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - 3 y^{3} d y$

Schritt 13.3

Da $- 3$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 3$ aus dem Integral.

$g (y) = - 3 \int y^{3} d y$

Schritt 13.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{3}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$g (y) = - 3 (\frac{1}{4} y^{4} + C)$

Schritt 13.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 13.5.1

Schreibe $- 3 (\frac{1}{4} y^{4} + C)$ als $- 3 (\frac{1}{4}) y^{4} + C$ um.

$g (y) = - 3 (\frac{1}{4}) y^{4} + C$

Schritt 13.5.2

Vereinfache.

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Schritt 13.5.2.1

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{4}$ .

$g (y) = \frac{- 3}{4} y^{4} + C$

Schritt 13.5.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$g (y) = - \frac{3}{4} y^{4} + C$

Schritt 14

Setze $g (y)$ in $f (x, y) = y x + g (y)$ ein.

$f (x, y) = y x - \frac{3}{4} y^{4} + C$

Schritt 15

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.1

Kombiniere $y^{4}$ und $\frac{3}{4}$ .

$f (x, y) = y x - \frac{y^{4} \cdot 3}{4} + C$

Schritt 15.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $y^{4}$ .

$f (x, y) = y x - \frac{3 y^{4}}{4} + C$