Analysis Beispiele

$\frac{2 d y}{d x} + y = 3$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Faktoriere $\frac{d y}{d x}$ aus.

$2 \frac{d y}{d x} + y = 3$

Schritt 1.2

Löse nach $\frac{d y}{d x}$ auf.

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Schritt 1.2.1

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 \frac{d y}{d x} = 3 - y$

Schritt 1.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 \frac{d y}{d x} = 3 - y$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \frac{d y}{d x} = 3 - y$ durch $2$ .

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} = \frac{3}{2} + \frac{- y}{2}$

Schritt 1.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} = \frac{3}{2} + \frac{- y}{2}$

Schritt 1.2.2.2.1.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{2} + \frac{- y}{2}$

Schritt 1.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{2} - \frac{y}{2}$

Schritt 1.3

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{\frac{3}{2} - \frac{y}{2}}$ .

$\frac{1}{\frac{3}{2} - \frac{y}{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{3}{2} - \frac{y}{2}} (\frac{3}{2} - \frac{y}{2})$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\frac{3}{2} - \frac{y}{2}$ .

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Schritt 1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\frac{3}{2} - \frac{y}{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{3}{2} - \frac{y}{2}} (\frac{3}{2} - \frac{y}{2})$

Schritt 1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\frac{3}{2} - \frac{y}{2}} \frac{d y}{d x} = 1$

Schritt 1.5

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{\frac{3}{2} - \frac{y}{2}} d y = 1 d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} - \frac{y}{2}} d y = \int d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Sei $u = \frac{3}{2} - \frac{y}{2}$ . Dann ist $d u = - \frac{1}{2} d y$ , folglich $- 2 d u = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.2.1.1

Es sei $u = \frac{3}{2} - \frac{y}{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Differenziere $\frac{3}{2} - \frac{y}{2}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{3}{2} - \frac{y}{2}]$

Schritt 2.2.1.1.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{3}{2} - \frac{y}{2}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [\frac{3}{2}] + \frac{d}{d y} [- \frac{y}{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{3}{2}] + \frac{d}{d y} [- \frac{y}{2}]$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Da $\frac{3}{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\frac{3}{2}$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- \frac{y}{2}]$

Schritt 2.2.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [- \frac{y}{2}]$ .

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Schritt 2.2.1.1.3.1

Da $- \frac{1}{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{y}{2}$ nach $y$ gleich $- \frac{1}{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 - \frac{1}{2} \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.2.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 - \frac{1}{2} \cdot 1$

Schritt 2.2.1.1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$0 - \frac{1}{2}$

Schritt 2.2.1.1.4

Subtrahiere $\frac{1}{2}$ von $0$ .

$- \frac{1}{2}$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{- 1}{u} \cdot \frac{- 1}{- \frac{1}{2}} d u = \int d x$

Schritt 2.2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.2.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int - \frac{1}{u} \cdot \frac{- 1}{- \frac{1}{2}} d u = \int d x$

Schritt 2.2.2.2

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\int - \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}} d u = \int d x$

Schritt 2.2.2.3

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{2}$ zu dividieren.

$\int - \frac{1}{u} (1 \cdot 2) d u = \int d x$

Schritt 2.2.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\int - \frac{1}{u} \cdot 2 d u = \int d x$

Schritt 2.2.2.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\int - 2 \frac{1}{u} d u = \int d x$

Schritt 2.2.2.6

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{u}$ .

$\int \frac{- 2}{u} d u = \int d x$

Schritt 2.2.2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int - \frac{2}{u} d u = \int d x$

Schritt 2.2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{2}{u} d u = \int d x$

Schritt 2.2.4

Da $2$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$- (2 \int \frac{1}{u} d u) = \int d x$

Schritt 2.2.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 \int \frac{1}{u} d u = \int d x$

Schritt 2.2.6

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$- 2 (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d x$

Schritt 2.2.7

Vereinfache.

$- 2 \ln (| u |) + C_{1} = \int d x$

Schritt 2.2.8

Ersetze alle $u$ durch $\frac{3}{2} - \frac{y}{2}$ .

$- 2 \ln (| \frac{3}{2} - \frac{y}{2} |) + C_{1} = \int d x$

Schritt 2.2.9

Stelle die Terme um.

$- 2 \ln (| \frac{3}{2} - \frac{1}{2} y |) + C_{1} = \int d x$

Schritt 2.3

Wende die Konstantenregel an.

$- 2 \ln (| \frac{3}{2} - \frac{1}{2} y |) + C_{1} = x + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$- 2 \ln (| \frac{3}{2} - \frac{1}{2} y |) = x + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 \ln (| \frac{3}{2} - \frac{1}{2} y |) = x + C$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 \ln (| \frac{3}{2} - \frac{1}{2} y |) = x + C$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 \ln (| \frac{3}{2} - \frac{1}{2} y |)}{- 2} = \frac{x}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 3.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 \ln (| \frac{3}{2} - \frac{1}{2} y |)}{- 2} = \frac{x}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

Schritt 3.1.2.1.2

Dividiere $\ln (| \frac{3}{2} - \frac{1}{2} y |)$ durch $1$ .

$\ln (| \frac{3}{2} - \frac{1}{2} y |) = \frac{x}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

Schritt 3.1.2.2

Kombiniere $y$ und $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| \frac{3}{2} - \frac{y}{2} |) = \frac{x}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

Schritt 3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\ln (| \frac{3}{2} - \frac{y}{2} |) = - \frac{x}{2} + \frac{C}{- 2}$

Schritt 3.1.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\ln (| \frac{3}{2} - \frac{y}{2} |) = - \frac{x}{2} - \frac{C}{2}$

Schritt 3.2

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| \frac{3}{2} - \frac{y}{2} |)} = e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}$

Schritt 3.3

Schreibe $\ln (| \frac{3}{2} - \frac{y}{2} |) = - \frac{x}{2} - \frac{C}{2}$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}} = | \frac{3}{2} - \frac{y}{2} |$

Schritt 3.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.4.1

Schreibe die Gleichung als $| \frac{3}{2} - \frac{y}{2} | = e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}$ um.

$| \frac{3}{2} - \frac{y}{2} | = e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}$

Schritt 3.4.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$\frac{3}{2} - \frac{y}{2} = \pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}$

Schritt 3.4.3

Subtrahiere $\frac{3}{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{y}{2} = \pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}} - \frac{3}{2}$

Schritt 3.4.4

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- 2$ .

$- 2 (- \frac{y}{2}) = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}} - \frac{3}{2})$

Schritt 3.4.5

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.4.5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.5.1.1

Vereinfache $- 2 (- \frac{y}{2})$ .

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Schritt 3.4.5.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.5.1.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{y}{2}$ in den Zähler.

$- 2 \frac{- y}{2} = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}} - \frac{3}{2})$

Schritt 3.4.5.1.1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$2 (- 1) \frac{- y}{2} = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}} - \frac{3}{2})$

Schritt 3.4.5.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot - 1 \frac{- y}{2} = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}} - \frac{3}{2})$

Schritt 3.4.5.1.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$- - y = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}} - \frac{3}{2})$

Schritt 3.4.5.1.1.2

Multipliziere.

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Schritt 3.4.5.1.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 y = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}} - \frac{3}{2})$

Schritt 3.4.5.1.1.2.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}} - \frac{3}{2})$

Schritt 3.4.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.5.2.1

Vereinfache $- 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}} - \frac{3}{2})$ .

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Schritt 3.4.5.2.1.1

Um $\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = - 2 ((\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}) \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2})$

Schritt 3.4.5.2.1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.4.5.2.1.2.1

Kombiniere $\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}$ und $\frac{2}{2}$ .

$y = - 2 (\frac{(\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}) \cdot 2}{2} - \frac{3}{2})$

Schritt 3.4.5.2.1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = - 2 \frac{(\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}) \cdot 2 - 3}{2}$

Schritt 3.4.5.2.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.5.2.1.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$y = 2 (- 1) \frac{(\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}) \cdot 2 - 3}{2}$

Schritt 3.4.5.2.1.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = 2 \cdot - 1 \frac{(\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}) \cdot 2 - 3}{2}$

Schritt 3.4.5.2.1.2.3.3

Forme den Ausdruck um.

$y = - ((\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}) \cdot 2 - 3)$

Schritt 3.4.5.2.1.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}$ .

$y = - (2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}) - 3)$

Schritt 3.4.5.2.1.4

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 3.4.5.2.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - (2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}})) - - 3$

Schritt 3.4.5.2.1.4.2

Multipliziere.

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Schritt 3.4.5.2.1.4.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}) - - 3$

Schritt 3.4.5.2.1.4.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$y = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}) + 3$

Schritt 3.4.6

Stelle $- \frac{x}{2}$ und $- \frac{C}{2}$ um.

$y = - 2 (\pm e^{- \frac{C}{2} - \frac{x}{2}}) + 3$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 4.1

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = - 2 (\pm e^{C - \frac{x}{2}}) + 3$

Schritt 4.2

Stelle die Terme um.

$y = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} + C}) + 3$

Schritt 4.3

Schreibe $e^{- \frac{x}{2} + C}$ als $e^{- \frac{x}{2}} e^{C}$ um.

$y = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2}} e^{C}) + 3$

Schritt 4.4

Stelle $e^{- \frac{x}{2}}$ und $e^{C}$ um.

$y = - 2 (\pm e^{C} e^{- \frac{x}{2}}) + 3$

Schritt 4.5

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = - 2 (C e^{- \frac{x}{2}}) + 3$