Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d t} = 10 t + 9 t^{2}$ , $y (1) = 2$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = (10 t + 9 t^{2}) d t$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int 10 t + 9 t^{2} d t$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int 10 t + 9 t^{2} d t$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{1} = \int 10 t d t + \int 9 t^{2} d t$

Schritt 2.3.2

Da $10$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $10$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 10 \int t d t + \int 9 t^{2} d t$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t$ nach $t$ gleich $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$y + C_{1} = 10 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int 9 t^{2} d t$

Schritt 2.3.4

Da $9$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $9$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 10 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + 9 \int t^{2} d t$

Schritt 2.3.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t^{2}$ nach $t$ gleich $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$y + C_{1} = 10 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + 9 (\frac{1}{3} t^{3} + C_{3})$

Schritt 2.3.6

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.6.1

Vereinfache.

$y + C_{1} = 10 (\frac{1}{2}) t^{2} + 9 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.6.2.1

Kombiniere $10$ und $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{10}{2} t^{2} + 9 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.6.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 5}{2} t^{2} + 9 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.6.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 5}{2 (1)} t^{2} + 9 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1} t^{2} + 9 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y + C_{1} = \frac{5}{1} t^{2} + 9 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.2.2.4

Dividiere $5$ durch $1$ .

$y + C_{1} = 5 t^{2} + 9 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.3

Kombiniere $9$ und $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = 5 t^{2} + \frac{9}{3} t^{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $9$ und $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.6.2.4.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$y + C_{1} = 5 t^{2} + \frac{3 \cdot 3}{3} t^{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.6.2.4.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$y + C_{1} = 5 t^{2} + \frac{3 \cdot 3}{3 (1)} t^{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + C_{1} = 5 t^{2} + \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} t^{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y + C_{1} = 5 t^{2} + \frac{3}{1} t^{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.4.2.4

Dividiere $3$ durch $1$ .

$y + C_{1} = 5 t^{2} + 3 t^{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.7

Stelle die Terme um.

$y + C_{1} = 3 t^{3} + 5 t^{2} + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = 3 t^{3} + 5 t^{2} + K$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $1$ für $t$ und $2$ für $y$ in $y = 3 t^{3} + 5 t^{2} + K$ ersetzt wird.

$2 = 3 \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1^{2} + K$

Schritt 4

Löse nach $K$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $3 \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1^{2} + K = 2$ um.

$3 \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1^{2} + K = 2$

Schritt 4.2

Vereinfache $3 \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1^{2} + K$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$3 \cdot 1 + 5 \cdot 1^{2} + K = 2$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 + 5 \cdot 1^{2} + K = 2$

Schritt 4.2.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$3 + 5 \cdot 1 + K = 2$

Schritt 4.2.1.4

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$3 + 5 + K = 2$

Schritt 4.2.2

Addiere $3$ und $5$ .

$8 + K = 2$

Schritt 4.3

Bringe alle Terme, die nicht $K$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$K = 2 - 8$

Schritt 4.3.2

Subtrahiere $8$ von $2$ .

$K = - 6$

Schritt 5

Setze $- 6$ für $K$ in $y = 3 t^{3} + 5 t^{2} + K$ ein und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Ersetze $K$ durch $- 6$ .

$y = 3 t^{3} + 5 t^{2} - 6$