Analysis Beispiele

$(1 - x^{2}) \frac{d y}{d x} = 4 y$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $(1 - x^{2}) \frac{d y}{d x} = 4 y$ durch $1 - x^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.1

Teile jeden Ausdruck in $(1 - x^{2}) \frac{d y}{d x} = 4 y$ durch $1 - x^{2}$ .

$\frac{(1 - x^{2}) \frac{d y}{d x}}{1 - x^{2}} = \frac{4 y}{1 - x^{2}}$

Schritt 1.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - x^{2}$ .

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Schritt 1.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(1 - x^{2}) \frac{d y}{d x}}{1 - x^{2}} = \frac{4 y}{1 - x^{2}}$

Schritt 1.1.2.1.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{1 - x^{2}}$

Schritt 1.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.3.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1.3.1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{1^{2} - x^{2}}$

Schritt 1.1.3.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{(1 + x) (1 - x)}$

Schritt 1.2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{4 y}{(1 + x) (1 - x)}$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.3.1

Faktorisiere $y$ aus $4 y$ heraus.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y \cdot 4}{(1 + x) (1 - x)}$

Schritt 1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y \cdot 4}{(1 + x) (1 - x)}$

Schritt 1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{4}{(1 + x) (1 - x)}$

Schritt 1.4

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y} d y = \frac{4}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{4}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Schritt 2.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{4}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \int \frac{1}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Schritt 2.3.2

Schreibe den Bruch mithilfe der Teilbruchzerlegung.

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Schritt 2.3.2.1

Zerlege den Bruch und multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner durch.

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Schritt 2.3.2.1.1

Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor im Nenner linear ist, setze eine einzelne Variable für den Zähler ein $A$ .

$\frac{A}{1 + x}$

Schritt 2.3.2.1.2

$\frac{A}{1 + x} + \frac{B}{1 - x}$

Schritt 2.3.2.1.3

Multipliziere jeden Bruch in der Gleichung mit dem Nenner des ursprünglichen Ausdrucks. In diesem Fall ist der Nenner gleich $(1 + x) (1 - x)$ .

$\frac{1 (1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Schritt 2.3.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + x$ .

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Schritt 2.3.2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 (1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Schritt 2.3.2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 (1 - x)}{1 - x} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Schritt 2.3.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - x$ .

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Schritt 2.3.2.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 (1 - x)}{1 - x} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Schritt 2.3.2.1.5.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Schritt 2.3.2.1.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.2.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + x$ .

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Schritt 2.3.2.1.6.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 = \frac{A (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Schritt 2.3.2.1.6.1.2

Dividiere $(A) (1 - x)$ durch $1$ .

$1 = (A) (1 - x) + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Schritt 2.3.2.1.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = A \cdot 1 + A (- x) + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Schritt 2.3.2.1.6.3

Mutltipliziere $A$ mit $1$ .

$1 = A + A (- x) + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Schritt 2.3.2.1.6.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$1 = A - A x + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Schritt 2.3.2.1.6.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - x$ .

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Schritt 2.3.2.1.6.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 = A - A x + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Schritt 2.3.2.1.6.5.2

Dividiere $(B) (1 + x)$ durch $1$ .

$1 = A - A x + (B) (1 + x)$

Schritt 2.3.2.1.6.6

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = A - A x + B \cdot 1 + B x$

Schritt 2.3.2.1.6.7

Mutltipliziere $B$ mit $1$ .

$1 = A - A x + B + B x$

Schritt 2.3.2.1.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.2.1.7.1

Bewege $A$ .

$1 = A - x A + B + B x$

Schritt 2.3.2.1.7.2

Stelle $B$ und $x$ um.

$1 = A - x A + B + B x$

Schritt 2.3.2.1.7.3

Bewege $B$ .

$1 = A - x A + B x + B$

Schritt 2.3.2.1.7.4

Bewege $A$ .

$1 = - x A + B x + A + B$

Schritt 2.3.2.2

Schreibe Gleichungen für die Teilbruchvariablen und benutze sie, um ein Gleichungssystem aufzustellen.

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Schritt 2.3.2.2.1

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$0 = - 1 A + B$

Schritt 2.3.2.2.2

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten der Terme, die $x$ nicht enthalten. Damit die Gleichung gilt, müssen die äquivalenten Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$1 = A + B$

Schritt 2.3.2.2.3

Stelle das Gleichungssystem auf, um die Koeffizienten der Partialbrüche zu ermitteln.

$0 = - 1 A + B$

$1 = A + B$

$0 = - 1 A + B$

$1 = A + B$

Schritt 2.3.2.3

Löse das Gleichungssystem.

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Schritt 2.3.2.3.1

Löse in $1 = A + B$ nach $A$ auf.

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Schritt 2.3.2.3.1.1

Schreibe die Gleichung als $A + B = 1$ um.

$A + B = 1$

$0 = - 1 A + B$

Schritt 2.3.2.3.1.2

Subtrahiere $B$ von beiden Seiten der Gleichung.

$A = 1 - B$

$0 = - 1 A + B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 A + B$

Schritt 2.3.2.3.2

Ersetze alle Vorkommen von $A$ durch $1 - B$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.3.2.3.2.1

Ersetze alle $A$ in $0 = - 1 A + B$ durch $1 - B$ .

$0 = - 1 (1 - B) + B$

$A = 1 - B$

Schritt 2.3.2.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.3.2.2.1

Vereinfache $- 1 (1 - B) + B$ .

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Schritt 2.3.2.3.2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.2.3.2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$0 = - 1 \cdot 1 - 1 (- B) + B$

$A = 1 - B$

Schritt 2.3.2.3.2.2.1.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$0 = - 1 - 1 (- B) + B$

$A = 1 - B$

Schritt 2.3.2.3.2.2.1.1.3

Multipliziere $- 1 (- B)$ .

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Schritt 2.3.2.3.2.2.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$0 = - 1 + 1 B + B$

$A = 1 - B$

Schritt 2.3.2.3.2.2.1.1.3.2

Mutltipliziere $B$ mit $1$ .

$0 = - 1 + B + B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + B + B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + B + B$

$A = 1 - B$

Schritt 2.3.2.3.2.2.1.2

Addiere $B$ und $B$ .

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

Schritt 2.3.2.3.3

Löse in $0 = - 1 + 2 B$ nach $B$ auf.

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Schritt 2.3.2.3.3.1

Schreibe die Gleichung als $- 1 + 2 B = 0$ um.

$- 1 + 2 B = 0$

$A = 1 - B$

Schritt 2.3.2.3.3.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 B = 1$

$A = 1 - B$

Schritt 2.3.2.3.3.3

Teile jeden Ausdruck in $2 B = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.2.3.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 B = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

Schritt 2.3.2.3.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.3.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.2.3.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

Schritt 2.3.2.3.3.3.2.1.2

Dividiere $B$ durch $1$ .

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

Schritt 2.3.2.3.4

Ersetze alle Vorkommen von $B$ durch $\frac{1}{2}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.3.2.3.4.1

Ersetze alle $B$ in $A = 1 - B$ durch $\frac{1}{2}$ .

$A = 1 - (\frac{1}{2})$

$B = \frac{1}{2}$

Schritt 2.3.2.3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.3.4.2.1

Vereinfache $1 - (\frac{1}{2})$ .

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Schritt 2.3.2.3.4.2.1.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$A = \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Schritt 2.3.2.3.4.2.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$A = \frac{2 - 1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Schritt 2.3.2.3.4.2.1.3

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Schritt 2.3.2.3.5

Liste alle Lösungen auf.

$A = \frac{1}{2}, B = \frac{1}{2}$

Schritt 2.3.2.4

Ersetze jeden der Teilbruchkoeffizienten in $\frac{A}{1 + x} + \frac{B}{1 - x}$ durch die Werte, die für $A$ und $B$ ermittelt wurden.

$\frac{\frac{1}{2}}{1 + x} + \frac{\frac{1}{2}}{1 - x}$

Schritt 2.3.2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.3.2.5.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 + x} + \frac{\frac{1}{2}}{1 - x}$

Schritt 2.3.2.5.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{1 + x}$ .

$\frac{1}{2 (1 + x)} + \frac{\frac{1}{2}}{1 - x}$

Schritt 2.3.2.5.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{1}{2 (1 + x)} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - x}$

Schritt 2.3.2.5.4

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{1 - x}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \int \frac{1}{2 (1 + x)} + \frac{1}{2 (1 - x)} d x$

Schritt 2.3.3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\int \frac{1}{2 (1 + x)} d x + \int \frac{1}{2 (1 - x)} d x)$

Schritt 2.3.4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + x} d x + \int \frac{1}{2 (1 - x)} d x)$

Schritt 2.3.5

Sei $u_{1} = 1 + x$ . Dann ist $d u_{1} = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 2.3.5.1

Es sei $u_{1} = 1 + x$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 2.3.5.1.1

Differenziere $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Schritt 2.3.5.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.5.1.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.5.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + 1$

Schritt 2.3.5.1.5

Addiere $0$ und $1$ .

$1$

Schritt 2.3.5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{2 (1 - x)} d x)$

Schritt 2.3.6

Das Integral von $\frac{1}{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) + \int \frac{1}{2 (1 - x)} d x)$

Schritt 2.3.7

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{1 - x} d x)$

Schritt 2.3.8

Sei $u_{2} = 1 - x$ . Dann ist $d u_{2} = - d x$ , folglich $- d u_{2} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 2.3.8.1

Es sei $u_{2} = 1 - x$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 2.3.8.1.1

Forme um.

$\frac{- 1}{1}$

Schritt 2.3.8.1.2

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$- 1$

Schritt 2.3.8.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) + \frac{1}{2} \int \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2})$

Schritt 2.3.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) + \frac{1}{2} \int - \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Schritt 2.3.10

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) + \frac{1}{2} (- \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}))$

Schritt 2.3.11

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) + \frac{1}{2} (- (\ln (| u_{2} |) + C_{3})))$

Schritt 2.3.12

Vereinfache.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\frac{\ln (| u_{1} |)}{2} - \frac{\ln (| u_{2} |)}{2}) + C_{4}$

Schritt 2.3.13

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 2.3.13.1

Ersetze alle $u_{1}$ durch $1 + x$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\frac{\ln (| 1 + x |)}{2} - \frac{\ln (| u_{2} |)}{2}) + C_{4}$

Schritt 2.3.13.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch $1 - x$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\frac{\ln (| 1 + x |)}{2} - \frac{\ln (| 1 - x |)}{2}) + C_{4}$

Schritt 2.3.14

Vereinfache.

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Schritt 2.3.14.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \frac{\ln (| 1 + x |) - \ln (| 1 - x |)}{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.14.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \frac{\ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.14.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.14.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (2) \frac{\ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.14.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \cdot 2 \frac{\ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.14.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |}) + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y |) = 2 \ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |}) + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| y |) - 2 \ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |}) = C$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache $\ln (| y |) - 2 \ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})$ .

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1.1

Vereinfache $- 2 \ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln (| y |) - \ln ({(\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}^{2}) = C$

Schritt 3.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |}$ an.

$\ln (| y |) - \ln (\frac{{| 1 + x |}^{2}}{{| 1 - x |}^{2}}) = C$

Schritt 3.2.1.1.3

Entferne den Absolutwert in ${| 1 + x |}^{2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$\ln (| y |) - \ln (\frac{{(1 + x)}^{2}}{{| 1 - x |}^{2}}) = C$

Schritt 3.2.1.1.4

Entferne den Absolutwert in ${| 1 - x |}^{2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$\ln (| y |) - \ln (\frac{{(1 + x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}}) = C$

Schritt 3.2.1.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{\frac{{(1 + x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}}}) = C$

Schritt 3.2.1.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\ln (| y | \frac{{(1 - x)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}) = C$

Schritt 3.2.1.4

Kombiniere $| y |$ und $\frac{{(1 - x)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}$ .

$\ln (\frac{| y | {(1 - x)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}) = C$

Schritt 3.3

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (\frac{| y | {(1 - x)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}})} = e^{C}$

Schritt 3.4

Schreibe $\ln (\frac{| y | {(1 - x)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}) = C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y | {(1 - x)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}$

Schritt 3.5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.5.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{| y | {(1 - x)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}} = e^{C}$ um.

$\frac{| y | {(1 - x)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}} = e^{C}$

Schritt 3.5.2

Multipliziere beide Seiten mit ${(1 + x)}^{2}$ .

$\frac{| y | {(1 - x)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}} {(1 + x)}^{2} = e^{C} {(1 + x)}^{2}$

Schritt 3.5.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(1 + x)}^{2}$ .

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Schritt 3.5.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{| y | {(1 - x)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}} {(1 + x)}^{2} = e^{C} {(1 + x)}^{2}$

Schritt 3.5.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$| y | {(1 - x)}^{2} = e^{C} {(1 + x)}^{2}$

Schritt 3.5.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $| y | {(1 - x)}^{2} = e^{C} {(1 + x)}^{2}$ durch ${(1 - x)}^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.4.1.1

Teile jeden Ausdruck in $| y | {(1 - x)}^{2} = e^{C} {(1 + x)}^{2}$ durch ${(1 - x)}^{2}$ .

$\frac{| y | {(1 - x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}} = \frac{e^{C} {(1 + x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 3.5.4.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.4.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(1 - x)}^{2}$ .

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Schritt 3.5.4.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{| y | {(1 - x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}} = \frac{e^{C} {(1 + x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 3.5.4.1.2.1.2

Dividiere $| y |$ durch $1$ .

$| y | = \frac{e^{C} {(1 + x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 3.5.4.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y = \pm \frac{e^{C} {(1 + x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \pm \frac{C {(1 + x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$