Analysis Beispiele

Löse die Differntialgleichung. (2x+y^3)dx+(3xy^2-e^(2y))dy=0
Schritt 1
Ermittle , wenn .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1
Differenziere nach .
Schritt 1.2
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 1.3
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 1.4
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.5
Addiere und .
Schritt 2
Ermittle , wenn .
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Schritt 2.1
Differenziere nach .
Schritt 2.2
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 2.3
Berechne .
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Schritt 2.3.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 2.3.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 2.3.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.4
Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.
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Schritt 2.4.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 2.4.2
Addiere und .
Schritt 3
Prüfe, ob .
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Schritt 3.1
Setze für und für ein.
Schritt 3.2
Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.
ist eine Identitätsgleichung.
ist eine Identitätsgleichung.
Schritt 4
Setze gleich dem Integral von .
Schritt 5
Integriere , um zu finden.
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Schritt 5.1
Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.
Schritt 5.2
Da konstant bezüglich ist, ziehe aus dem Integral.
Schritt 5.3
Gemäß der Potenzregel ist das Integral von nach gleich .
Schritt 5.4
Wende die Konstantenregel an.
Schritt 5.5
Kombiniere und .
Schritt 5.6
Vereinfache.
Schritt 6
Da das Integral von eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir durch ersetzen.
Schritt 7
Setze .
Schritt 8
Ermittle .
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Schritt 8.1
Differenziere nach .
Schritt 8.2
Differenziere.
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Schritt 8.2.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 8.2.2
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 8.3
Berechne .
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Schritt 8.3.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 8.3.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 8.3.3
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 8.4
Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von ist.
Schritt 8.5
Vereinfache.
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Schritt 8.5.1
Addiere und .
Schritt 8.5.2
Stelle die Terme um.
Schritt 9
Löse nach auf.
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Schritt 9.1
Bringe alle Terme, die nicht enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.
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Schritt 9.1.1
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 9.1.2
Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in .
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Schritt 9.1.2.1
Ordne die Faktoren in den Termen und neu an.
Schritt 9.1.2.2
Subtrahiere von .
Schritt 9.1.2.3
Subtrahiere von .
Schritt 10
Bestimme die Stammfunktion von , um zu finden.
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Schritt 10.1
Integriere beide Seiten von .
Schritt 10.2
Berechne .
Schritt 10.3
Da konstant bezüglich ist, ziehe aus dem Integral.
Schritt 10.4
Sei . Dann ist , folglich . Forme um unter Verwendung von und .
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Schritt 10.4.1
Es sei . Ermittle .
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Schritt 10.4.1.1
Differenziere .
Schritt 10.4.1.2
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 10.4.1.3
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 10.4.1.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 10.4.2
Schreibe die Aufgabe mithlfe von und neu.
Schritt 10.5
Kombiniere und .
Schritt 10.6
Da konstant bezüglich ist, ziehe aus dem Integral.
Schritt 10.7
Entferne die Klammern.
Schritt 10.8
Das Integral von nach ist .
Schritt 10.9
Vereinfache.
Schritt 10.10
Ersetze alle durch .
Schritt 11
Setze in ein.
Schritt 12
Kombiniere und .