Analysis Beispiele

$(2 x^{2} - y e^{x}) d x - e^{x} d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = 2 x^{2} - y e^{x}$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x^{2} - y e^{x}]$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{2} - y e^{x}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [2 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y e^{x}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y e^{x}]$

Schritt 1.2.2

Da $2 x^{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{2}$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- y e^{x}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [- y e^{x}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- e^{x}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- y e^{x}$ nach $y$ gleich $- e^{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - e^{x} \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - e^{x} \cdot 1$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - e^{x}$

Schritt 1.4

Subtrahiere $e^{x}$ von $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - e^{x}$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = - e^{x}$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

Schritt 2.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- e^{x}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - e^{x}$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $- e^{x}$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $- e^{x}$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$- e^{x} = - e^{x}$

Schritt 3.2

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$- e^{x} = - e^{x}$ ist eine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - e^{x} d y$

Schritt 5

Integriere $N (x, y) = - e^{x}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 5.1

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = - e^{x} y + C$

Schritt 6

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = - e^{x} y + g (x)$

Schritt 7

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x^{2} - y e^{x}$

Schritt 8

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Schritt 8.1

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [- e^{x} y + g (x)] = 2 x^{2} - y e^{x}$

Schritt 8.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- e^{x} y + g (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- e^{x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- e^{x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{2} - y e^{x}$

Schritt 8.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- e^{x} y]$ .

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Schritt 8.3.1

Da $- y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- e^{x} y$ nach $x$ gleich $- y \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$- y \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{2} - y e^{x}$

Schritt 8.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$- y e^{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{2} - y e^{x}$

Schritt 8.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (x)$ $\frac{d g}{d x}$ ist.

$- y e^{x} + \frac{d g}{d x} = 2 x^{2} - y e^{x}$

Schritt 8.5

Vereinfache.

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Schritt 8.5.1

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d x} - e^{x} y = 2 x^{2} - y e^{x}$

Schritt 8.5.2

Stelle die Faktoren in $\frac{d g}{d x} - e^{x} y$ um.

$\frac{d g}{d x} - y e^{x} = 2 x^{2} - y e^{x}$

Schritt 9

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 9.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 9.1.1

Addiere $y e^{x}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} = 2 x^{2} - y e^{x} + y e^{x}$

Schritt 9.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x^{2} - y e^{x} + y e^{x}$ .

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Schritt 9.1.2.1

Addiere $- y e^{x}$ und $y e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x^{2} + 0$

Schritt 9.1.2.2

Addiere $2 x^{2}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x^{2}$

Schritt 10

Bestimme die Stammfunktion von $2 x^{2}$ , um $g (x)$ zu finden.

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Schritt 10.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d x} = 2 x^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 2 x^{2} d x$

Schritt 10.2

Berechne $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 2 x^{2} d x$

Schritt 10.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$g (x) = 2 \int x^{2} d x$

Schritt 10.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$g (x) = 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Schritt 10.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 10.5.1

Schreibe $2 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ als $2 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$ um.

$g (x) = 2 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Schritt 10.5.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{3}$ .

$g (x) = \frac{2}{3} x^{3} + C$

Schritt 11

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = - e^{x} y + g (x)$ ein.

$f (x, y) = - e^{x} y + \frac{2}{3} x^{3} + C$

Schritt 12

Vereinfache $f (x, y) = - e^{x} y + \frac{2}{3} x^{3} + C$ .

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Schritt 12.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x^{3}$ .

$f (x, y) = - e^{x} y + \frac{2 x^{3}}{3} + C$

Schritt 12.2

Stelle die Faktoren in $f (x, y) = - e^{x} y + \frac{2 x^{3}}{3} + C$ um.

$f (x, y) = - y e^{x} + \frac{2 x^{3}}{3} + C$